3 次関数の最大値・最小値を求める問題は、2 次関数のときとは少し事情が異なる。2 次関数なら頂点さえ押さえれば最大・最小がわか...

前回の記事では、ルービックキューブの操作全体が群をなすことを確認した。本記事では一歩踏み込み、各基本操作をコーナーとエッジの置換...

曲線 $y = f(x)$ の接線を求める問題には、大きく分けて 2 つのパターンがある。1 つは「曲線上の点における接線」、も...

1次不定方程式 $ax + by = c$ が整数解を持つかどうかは、$a, b, c$ の関係で決まります。闘雲に解こうとする...

ルービックキューブは、6 色の面を持つ立体パズルであると同時に、群論の生きた教材でもある。ここでは 3×3×3 の標準的なルービ...

可換環 $R$ の素イデアル全体の集合 $\mathrm{Spec}\,R$ は、ザリスキ位相によって位相空間となる。これは代数...

群作用は群が集合の上で「対称性として働く」状況を記述する。軌道と安定化群は群作用の基本的な構造を捉える概念である。 群作用の定義...

波動方程式は、弦の振動、音波、電磁波など、振動・波動現象を記述する双曲型偏微分方程式です。ダランベールの公式により、解が明示的に...

ゼータ関数は数体の算術的情報を解析的に捉える道具です。その $s = 1$ での振る舞いが類数公式を与え、数論と解析学を結びつけ...

有限生成加群は可換環論における中心的な対象である。ベクトル空間が体上の有限次元性をもつのと同様に、環上の加群にも「有限生成」とい...

熱方程式は、熱伝導や拡散現象を記述する放物型偏微分方程式です。フーリエがこの方程式を解くために発明したフーリエ級数は、現代解析学...

相互法則は整数論の中心的なテーマで、ある数が別の数を法として平方剰余かどうかを判定する法則です。二次相互法則から始まり、より高次...

Hilbert 基底定理は、ネーター環の多項式環がふたたびネーター環になることを保証する。可換環論と代数幾何学の基礎を支える定理...

直観主義論理（intuitionistic logic）は、古典論理とは異なる基盤に立つ論理体系です。「構成的な証明」を重視し、...

中山の補題（Nakayama's lemma）は可換環論における最も重要な技術的道具の一つである。局所環上の有限生成加群を扱う際...

局所体と大域体は代数的整数論において相補的な役割を果たします。大域的な問題を局所的に分析し、それらを統合するアプローチが強力な道...

様相論理（modal logic）は、「必然性」と「可能性」を形式化する論理体系です。古典述語論理を拡張して、「必ず〜である」「...

決定可能性（decidability）は、問題を機械的に解けるかどうかを問う概念です。記号論理学と計算理論が交わる重要なテーマで...

ベクトルとは、向きと大きさを持つ量のことです。図形的には矢印として描かれます。力や速度のように「どちらの方向にどれだけ」という情...

指数関数 $a^x$ の極限は、底 $a$ の値によって振る舞いが大きく変わります。まずは基本的な性質を整理しておきましょう。 ...

ゲーデルの第二不完全性定理は、第一不完全性定理をさらに深化させた結果です。十分に強い理論は、自分自身の無矛盾性を証明できないこと...

1次不定方程式とは、$ax + by = c$（$a, b, c$ は整数の定数）の形をした方程式で、整数解 $(x, y)$ ...

$p$ 進数は有理数を「$p$ で何回割れるか」という視点で完備化したもので、局所的な解析を可能にする重要な道具です。 $p$ ...

加群の長さは、加群の「大きさ」を測る不変量の一つである。有限次元ベクトル空間の次元を一般化した概念といえる。 組成列の定義 $R...