3次関数の決定問題：極値の条件から関数を求める

3 次関数の式が未知で、極値に関する条件だけが与えられている問題がある。「 $x = 1$ で極大値 $5$ をとり、 $x = 3$ で極小値 $1$ をとる 3 次関数を求めよ」のような形式だ。この手の問題では、3 次関数の一般形に条件を当てはめて連立方程式を解くことになる。

3 次関数の一般形

3 次関数は $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ （ $a \neq = 0$ ）と表される。未知数は $a, b, c, d$ の 4 つなので、4 つの独立な条件があれば関数が一意に決まる。

極値の条件からは「 $f^{'} (α) = 0$ 」と「 $f (α) = k$ 」という 2 種類の情報が得られる。極大と極小の 2 つの極値が与えられれば、条件は合計 4 つになり、ちょうど $a, b, c, d$ を決定できる。

例題 1

$f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ が $x = 1$ で極大値 $5$ をとり、 $x = 3$ で極小値 $1$ をとるとき、 $f (x)$ を求めよ。

導関数は $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ である。条件を整理すると、次の 4 つの方程式が立つ。

極大の条件

$f^{'} (1) = 0$ より $3 a + 2 b + c = 0$ 、 $f (1) = 5$ より $a + b + c + d = 5$

極小の条件

$f^{'} (3) = 0$ より $27 a + 6 b + c = 0$ 、 $f (3) = 1$ より $27 a + 9 b + 3 c + d = 1$

まず $f^{'} (1) = 0$ と $f^{'} (3) = 0$ の 2 式から $c$ を消去する。

$27 a + 6 b + c = 0$

$3 a + 2 b + c = 0$

辺々引くと $24 a + 4 b = 0$ となり、 $b = - 6 a$ が得られる。

$b = - 6 a$ を $3 a + 2 b + c = 0$ に代入すると、 $3 a - 12 a + c = 0$ より $c = 9 a$ が出る。

次に $f (1) = 5$ と $f (3) = 1$ を使う。 $f (1) = a + b + c + d = a - 6 a + 9 a + d = 4 a + d = 5$ なので $d = 5 - 4 a$ となる。

$f (3) = 27 a + 9 b + 3 c + d = 27 a - 54 a + 27 a + d = d = 1$ より $d = 1$ が得られる。

$d = 5 - 4 a = 1$ だから $a = 1$ 。したがって $b = - 6$ 、 $c = 9$ 、 $d = 1$ となり、

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$

検算の重要性

求めた関数が本当に条件を満たすか、必ず確認する。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x - 1) (x - 3)$

$f^{'} (1) = 0$ , $f^{'} (3) = 0$ で確かに極値をとる

$f (1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$ , $f (3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$

極大値 $5$ 、極小値 $1$ が正しく再現されている。また $a = 1 > 0$ なので、 $x = 1$ が極大、 $x = 3$ が極小になることも増減表から確認できる。

例題 2：極値の $x$ 座標だけが与えられる場合

「 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 1$ が $x = - 1$ で極大、 $x = 2$ で極小をとるとき、 $a, b, c$ を求めよ」のように、極値の $y$ 座標が与えられないこともある。

この場合、 $d = 1$ が既知なので未知数は $a, b, c$ の 3 つだ。条件は $f^{'} (- 1) = 0$ と $f^{'} (2) = 0$ の 2 つしかないように見えるが、極大・極小の大小関係から $a > 0$ （ $x$ の小さい方が極大なら正の係数）という条件が加わる。

$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ として、

$f^{'} (- 1) = 3 a - 2 b + c = 0$

$f^{'} (2) = 12 a + 4 b + c = 0$

2 式から $c$ を消去すると $9 a + 6 b = 0$ 、つまり $b = - \frac{3 a}{2}$ となる。 $c = 3 a - 2 b = 3 a + 3 a = 6 a$ も出る。 $a > 0$ のもとでは無数の解があるように見えるが、実はこの問題では $a$ の値を 1 つに決める追加条件（ $d = 1$ は定数項を固定するだけ）が不足している。

このように、条件の数と未知数の数が一致しない場合は $a$ をパラメータとして残すか、問題に追加条件がないか確認する必要がある。

未知数 4 つ、条件 4 つ

$a, b, c, d$ が一意に決まる。極大値・極小値の $y$ 座標も与えられている問題。

未知数 3 つ、条件 2 つ

$a$ をパラメータとして $b, c$ を表す。追加条件がなければ 1 つには定まらない。

別のアプローチ： $f^{'} (x)$ から組み立てる

極値の $x$ 座標が $α, β$ であることがわかっているなら、 $f^{'} (α) = 0$ かつ $f^{'} (β) = 0$ だから、

$f^{'} (x) = 3 a (x - α) (x - β)$

と因数分解できる。ここから $f^{'} (x)$ を展開して積分すれば $f (x)$ が得られる。

たとえば例題 1 では、 $f^{'} (x) = 3 a (x - 1) (x - 3) = 3 a (x^{2} - 4 x + 3)$ と書ける。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} - 12 a x + 9 a$ なので、積分すると、

$f (x) = a x^{3} - 6 a x^{2} + 9 a x + d$

$f (1) = 5$ と $f (3) = 1$ を代入して $a$ と $d$ を求めれば、先ほどと同じ結果に到達する。この方法は連立方程式の本数を減らせるため、計算が楽になる場合がある。

3 次関数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ が $x = 0$ で極大値 $3$ 、 $x = 2$ で極小値 $- 1$ をとるとき、 $c$ の値はいくつか。

$c = - 3$
$c = 0$
$c = 6$
$c = 3$

__RESULT__

$f^{'} (0) = c = 0$ である。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ に $x = 0$ を代入すれば即座にわかる。

まとめ

3 次関数の決定問題は、極値の条件から連立方程式を立てて係数を求める手順で解ける。未知数 4 つに対して条件が 4 つ揃えば一意に決まる。 $f^{'} (x)$ の因数分解から組み立てるアプローチも有効で、問題によっては計算量を減らせる。いずれの方法でも、求めた関数が元の条件を満たすかどうか検算することが大切だ。