極大値と極小値から係数を逆算する｜3次関数の決定問題

$x = 1$ で極大値 $5$ 、 $x = 3$ で極小値 $1$ をとる 3 次関数は $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ です。

式が分からず、極値の条件だけが与えられている。この向きの問題では、一般形に条件を当てはめて係数を出します^[1]。

未知数と条件の数をそろえる

3 次関数の一般形は $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ で、 $a \neq = 0$ です。未知数は 4 つ。

4 つを決めるには、独立な条件が 4 つ要ります。極値 1 つにつき条件が 2 つ立ちます。

接線が水平である

$f^{'} (α) = 0$ 。その $x$ で導関数が $0$ になる

その高さである

$f (α) = k$ 。極値の値そのもの

極大と極小が両方与えられれば、 $2 \times 2 = 4$ で数がそろいます。ちょうど 1 つに決まる形です。

例：連立して解く

$x = 1$ で極大値 $5$ 、 $x = 3$ で極小値 $1$ という条件で進めます。導関数は $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ です。

4 つの式を並べます。

$f^{'} (1) f^{'} (3) f (1) f (3) = 3 a + 2 b + c = 0 = 27 a + 6 b + c = 0 = a + b + c + d = 5 = 27 a + 9 b + 3 c + d = 1$

導関数の 2 式から始めます。辺々引くと $c$ が消えます。

$24 a + 4 b = 0 ⟹ b = - 6 a$

$b = - 6 a$ を $3 a + 2 b + c = 0$ に入れると $3 a - 12 a + c = 0$ で $c = 9 a$ 。

残る 2 式に代入します。 $f (1) = a - 6 a + 9 a + d = 4 a + d = 5$ 。

$f (3) = 27 a - 54 a + 27 a + d = d = 1$ なので $d = 1$ です。

$4 a + 1 = 5$ から $a = 1$ 。したがって $b = - 6$ 、 $c = 9$ 、 $d = 1$ になります。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$

検算をする

出した式が条件を満たすか確かめます。連立を解いただけでは、向きが逆になっている場合を見落とします。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x - 1) (x - 3)$ です。 $x = 1$ と $x = 3$ で $0$ になっている。

$x < 1$ では両方の因数が負で積は正、 $1 < x < 3$ では負、 $3 < x$ では正。 $x = 1$ が極大、 $x = 3$ が極小で合っています。

$f (1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$ 、 $f (3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$ 。値も一致しました。

導関数から組み立てる別解

極値をとる $x$ が $α$ と $β$ だと分かっているなら、導関数の形が先に決まります^[2]。

$f^{'} (x)$ は 2 次式で、 $x = α, β$ を解にもちます。だから因数分解した形で書ける。

$f^{'} (x) = 3 a (x - α) (x - β)$

$x = 1, 3$ なら $f^{'} (x) = 3 a (x - 1) (x - 3) = 3 a (x^{2} - 4 x + 3)$ です。

これを積分すると $f (x) = a (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x) + d$ になります。未知数が $a$ と $d$ の 2 つに減った。

$f (1) = 4 a + d = 5$ と $f (3) = d = 1$ から、さきほどと同じ $a = 1$ 、 $d = 1$ が出ます。

一般形から連立する

4 元連立になる。手順は機械的だが式が多い

導関数から組み立てる

未知数が 2 つに減る。極値の $x$ が分かっているときだけ使える

$b$ と $c$ を経由しないぶん、計算が短くなります。極値の $x$ 座標が与えられていれば、こちらを試す価値があります。

極値の $x$ を決めただけでは、縦にずれた曲線も、つぶれた曲線もまだ残ります。高さの条件が 2 つ入って初めて 1 本に定まる。

例：もう 1 組の条件で解く

$x = - 1$ で極大値 $4$ 、 $x = 1$ で極小値 $0$ をとる 3 次関数を求めます。

導関数から組み立てます。 $f^{'} (x) = 3 a (x + 1) (x - 1) = 3 a (x^{2} - 1)$ です。

積分すると $f (x) = a (x^{3} - 3 x) + d$ になります。

$f (- 1) = a (- 1 + 3) + d = 2 a + d = 4$ 、 $f (1) = a (1 - 3) + d = - 2 a + d = 0$ 。

辺々足すと $2 d = 4$ で $d = 2$ 。引くと $4 a = 4$ で $a = 1$ です。

$f (x) = x^{3} - 3 x + 2$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$ で、 $x = - 1$ が極大、 $x = 1$ が極小。値も $4$ と $0$ で合います。

例：極値の高さが与えられない

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ が $x = - 2$ で極大、 $x = 2$ で極小をとり、 $f (0) = 1$ とします。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ から 2 つの式が立ちます。

$f^{'} (- 2) f^{'} (2) = 12 - 4 a + b = 0 = 12 + 4 a + b = 0$

辺々引くと $8 a = 0$ で $a = 0$ 。代入して $b = - 12$ です。

$f (0) = c = 1$ なので $f (x) = x^{3} - 12 x + 1$ になります。

極値の値は条件に出てきませんでしたが、 $f (0)$ が代わりの 1 本になりました。条件が 3 つでも、 $x^{3}$ の係数が $1$ と決まっていれば足ります。

未知数がいくつあるか数える

条件がいくつ立つか数える

数が合わなければ足りない条件を探す

例：極大値と極小値の差から

$f (x) = x^{3} - 3 a x$ （ $a > 0$ ）の極大値と極小値の差が $4$ になる $a$ を求めます。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 a = 3 (x^{2} - a)$ なので、解は $x = \pm a$ です。

$x = - a$ で極大、 $x = a$ で極小になります。値を出します。

$f (- a) f (a) = - a a + 3 a a = 2 a a = a a - 3 a a = - 2 a a$

差は $4 a a$ です。これが $4$ になる条件から $a a = 1$ 。

両辺を 2 乗すると $a^{3} = 1$ で $a = 1$ になります。 $f (x) = x^{3} - 3 x$ で、極値は $2$ と $- 2$ 。差は $4$ です。

極大値と極小値は、 $x^{3}$ の係数が正なら左が山、右が谷になります。

係数が負なら順序が入れかわる。差をとる前に、どちらが上かを決めておく。

$a$ を動かすと、山と谷の開き方が変わります。差が $4$ になる場所は 1 か所だけです。

$a$ を大きくすると山と谷が左右に離れ、上下にも開きます。差が $4$ でそろうのは $a = 1$ のときだけ。

$f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ が $x = 0$ で極大値 $3$ 、 $x = 2$ で極小値 $- 1$ をとるとき、 $c$ の値はいくつですか。

$0$
$- 3$
$6$

__RESULT__

$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ に $x = 0$ を入れると $f^{'} (0) = c$ です。ここが極値なので $c = 0$ になります。ほかの係数を求めなくても、代入だけで決まります。

導関数から組み立てる解き方も確かめます。

$x = 2$ と $x = 4$ で極値をとる 3 次関数の導関数は、どの形で書けますか。

$f^{'} (x) = a (x - 2) (x - 4) (x - 6)$
$f^{'} (x) = 3 a (x - 2) (x - 4)$
$f^{'} (x) = 3 a (x + 2) (x + 4)$

__RESULT__

$f^{'} (x)$ は 2 次式で、 $x = 2, 4$ を解にもちます。 $x^{3}$ の係数を $a$ とすると $x^{2}$ の係数は $3 a$ なので、 $3 a (x - 2) (x - 4)$ の形です。3 つめは符号が逆で、解が $- 2$ と $- 4$ になってしまいます。

未知数の数と条件の数を先に数える。数が合っていれば、あとは連立を解いて検算するだけです。

出典

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph. Calculus Volume 1, OpenStax.

Chapitre 3 — Dérivation, étude de fonctions. MathSV, Université Claude Bernard Lyon 1.

Extremum. Encyclopedia of Mathematics.

$x = 1$ で極大値 5、$x = 3$ で極小値 1 という条件だけから $x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ が決まります。一般形の未知数は 4 つ、極値 1 つにつき条件が 2 つ立つので数がそろう。$f'(x) = 3a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解して積分すれば、未知数を 2 つに減らせます。極値の高さが与えられず $f(0)$ が代わりになる形、極大値と極小値の差が 4 になる $a$ を求める形も並べました。連立を解いたら、符号の変わり方まで確かめて極大と極小が逆でないかを見ます。