n進法の基本と10進法への変換

私たちが普段使っている数の表し方は 10 進法です。0 から 9 までの 10 種類の数字を使い、位が上がるごとに 10 倍になります。しかし、数の表し方はこれだけではありません。$n$ 進法では、$n$ 種類の数字を使い、位が上がるごとに $n$ 倍になります。

n 進法とは

$n$ 進法では、各桁の数字は $0$ から $n-1$ までの値をとり、右から順に $n^0$、$n^1$、$n^2$、… の位を表します。

$n$ 進法で表された数であることを明示するために、数の右下に $(n)$ をつけて $1011_{(2)}$ や $234_{(5)}$ のように書きます。

n 進法から 10 進法への変換

$n$ 進法の数を 10 進法に直すには、各桁の数字に位の重みをかけて足し合わせます。

$1011_{(2)}$ を 10 進法に変換してみましょう。

$$1011_{(2)}=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0$$

$$=8+0+2+1=11$$

よって $1011_{(2)}=11_{(10)}$ です。

別の例

$234_{(5)}$ を 10 進法に変換します。

$$234_{(5)}=2\times 5^2+3\times 5^1+4\times 5^0$$

$$=2\times 25+3\times 5+4\times 1$$

$$=50+15+4=69$$

よって $234_{(5)}=69_{(10)}$ です。

変換のコツ

計算を効率的に行うために、ホーナー法を使う方法もあります。

$234_{(5)}$ の場合

$$((2)\times 5+3)\times 5+4=(10+3)\times 5+4=13\times 5+4=65+4=69$$

左の桁から順に「$n$ をかけて次の桁を足す」を繰り返すだけです。

桁数が多いときはこの方法が便利です。

注意点

$n$ 進法では、各桁に $n$ 以上の数字は現れません。たとえば 5 進法で「$256_{(5)}$」という表記は誤りです。5 進法では 0, 1, 2, 3, 4 の 5 種類しか使えないので、6 という数字は登場しません。

問題文で $n$ 進法の数が与えられたら、まず各桁が $0$ から $n-1$ の範囲にあるか確認する習慣をつけておくと、計算ミスを防げます。