連立一次不等式は、複数の不等式を同時に満たす $x$ の範囲を求める問題です。方程式の連立と違って「解が範囲で出る」のが特徴で、...

二次方程式を解く方法はいくつかありますが、因数分解が使える場合はそれが最も速い解法です。特に $ax^2 + bx + c = ...

可算集合と非可算集合の定義を述べ、Cantorの対角線論法による実数の非可算性の証明を解説します。

集合論の三大同値命題である選択公理・Zornの補題・整列可能定理の内容と、それらが互いに同値であることの証明の流れを解説します。

絶対値つきの不等式は、一見すると難しそうに見えますが、絶対値の意味を正しく理解すれば機械的に解くことができます。ここでは場合分け...

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の 2 つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、解を直接求めな...

ラプラス変換の基本性質と公式を学んだところで、いよいよ微分方程式を実際に解いていきます。ラプラス変換による解法の最大の強みは、初...

変数分離法は偏微分方程式を解くための最も基本的な手法です。「偏微分方程式を常微分方程式に帰着させる」という発想自体は明快ですが、...

非同次線形微分方程式の特殊解を求める方法として、未定係数法と定数変化法の 2 つを学びました。理論を理解していても、実際に手を動...

前回の記事で扱ったラプラス変換の基本公式は、$e^{at}$, $\sin(\omega t)$, $t^n$ といった滑らかな...

前回の記事で扱ったラプラス変換の基本公式は、$e^{at}$, $\sin(\omega t)$, $t^n$ といった滑らかな...

ラプラス変換は、微分方程式を代数方程式に変換する強力な道具です。この記事では、ラプラス変換と逆変換の定義を確認したうえで、計算の...

微分方程式の問題は大きく分けて初期値問題と境界値問題の 2 種類があります。初期値問題では、ある一点での関数値と導関数値を指定し...

ラプラス方程式 $\Delta u = 0$ は「源のない場」を記述しますが、現実の物理現象では電荷や質量、熱源などの「源」が存...

次数付き環における Hilbert 関数の定義から出発し、Hilbert 多項式の存在定理と次元・重複度との関係を解説する

整域の整閉包を具体的に計算する方法と、整閉性を判定するための理論的・実践的な手法を解説する

半群環・モノイド環の定義と基本性質を解説し、多項式環やLaurent多項式環が特殊な場合として統一的に理解できることを示す

整域の商体の構成から出発し、関数体の概念と拡大の理論を体系的に解説する

多項式環と形式的冪級数環の代数的性質を体系的に比較し、両者の共通点と本質的な違いを明らかにする

整数論における二次形式の理論は、ガウスが『算術研究』（Disquisitiones Arithmeticae, 1801）で体系...

整数の世界で方程式を解くとき、まず各素数 $p$ を法として解を調べ、次にそれを $p^2, p^3, \dots$ と持ち上げ...

ディリクレの算術級数定理は「$\gcd(a, q) = 1$ ならば $p \equiv a \pmod{q}$ を満たす素数が...

リーマンのゼータ関数 $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$ が素数の分布を支配するとい...

整数論における二次形式の理論は、ガウスが『算術研究』（Disquisitiones Arithmeticae, 1801）で体系...