加群の深さ（depth）

加群の深さ（depth）は、正則列の長さで測られる不変量である。次元と並ぶ重要な概念であり、Cohen-Macaulay 環の定義に本質的な役割を果たす。

定義

$(R,\mathfrak{m})$ を局所環、$M$ を非ゼロ有限生成 $R$-加群とする。$M$ の深さ（depth）とは、$M$ 上の $\mathfrak{m}$-正則列の長さの上限である。

$$\mathrm{depth}(M)=\sup \{n:\exists x_1,\dots ,x_n\in \mathfrak{m}\text{ が }M\text{-正則列}\}$$

ここで、$x_1,\dots ,x_n$ が $M$-正則列（$M$-regular sequence）であるとは、各 $x_i$ が $M/(x_1,\dots ,x_{i-1})M$ 上の非零因子であることをいう。

Ext による特徴づけ

深さは Ext 関手を用いて特徴づけられる。$k=R/\mathfrak{m}$ を剰余体とすると

$$\mathrm{depth}(M)=\min \{i:{\mathrm{Ext}}_R^i(k,M)\ne 0\}$$

が成り立つ。これは深さがホモロジー代数的な不変量であることを示している。

深さと次元の関係

有限生成加群 $M$ に対し、次の不等式が成り立つ。

$$\mathrm{depth}(M)\le \dim (M)\le \dim (R)$$

ここで $\dim (M)=\dim (R/\mathrm{Ann}(M))$ は加群の次元である。深さは次元を超えない。

Cohen-Macaulay 性

$M$ が Cohen-Macaulay 加群であるとは、$\mathrm{depth}(M)=\dim (M)$ が成り立つことをいう。$R$ が Cohen-Macaulay 環であるとは、$R$-加群としての $R$ 自身が Cohen-Macaulay であること、すなわち $\mathrm{depth}(R)=\dim (R)$ である。

Cohen-Macaulay 環は「ホモロジー的によい」環であり、代数幾何学と可換環論で中心的な役割を果たす。

具体例

$R=k[[x,y]]$（2 変数形式的冪級数環）を考える。$\dim R=2$ であり、$x,y$ は $R$-正則列なので $\mathrm{depth}(R)=2$。したがって $R$ は Cohen-Macaulay 環である。

$R=k[[x,y]]/(xy)$ は $\dim R=1$ だが、$\mathfrak{m}=(x,y)$ のどの元も零因子となる（$x$ は $y$ の、$y$ は $x$ の零因子）。したがって $\mathrm{depth}(R)=0$ であり、Cohen-Macaulay ではない。

Auslander-Buchsbaum の公式

$R$ を正則局所環、$M$ を射影次元有限の有限生成 $R$-加群とする。このとき

$$\mathrm{depth}(M)+\mathrm{pd}(M)=\mathrm{depth}(R)$$

が成り立つ。ここで $\mathrm{pd}(M)$ は $M$ の射影次元である。この公式は深さと射影次元の関係を明確にする。