加群の台（サポート）と随伴素イデアル

加群の台（サポート）と随伴素イデアルは、加群の「局所的な振る舞い」を素イデアルを通じて捉える概念である。加群がどこで非ゼロか、どこで「本質的な情報」をもつかを記述する。

加群の台

$R$ を可換環、$M$ を $R$-加群とする。$M$ の台（support）とは

$$\mathrm{Supp}(M)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}R:M_{\mathfrak{p}}\ne 0\}$$

で定義される $\mathrm{Spec}R$ の部分集合である。$M_{\mathfrak{p}}$ は $\mathfrak{p}$ における $M$ の局所化を表す。

直感的には、$\mathrm{Supp}(M)$ は $M$ が「生きている」場所を示している。$\mathfrak{p}\notin \mathrm{Supp}(M)$ ならば、$\mathfrak{p}$ の近傍では $M$ はゼロに見える。

随伴素イデアル

$M$ の随伴素イデアル（associated prime）とは、ある $m\in M$ の零化イデアル $\mathrm{Ann}(m)=\{r\in R:rm=0\}$ が素イデアルとなるものをいう。随伴素イデアル全体の集合を $\mathrm{Ass}(M)$ と書く。

$$\mathrm{Ass}(M)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}R:\mathfrak{p}=\mathrm{Ann}(m)\text{ for some }m\in M\}$$

随伴素イデアルは加群の「本質的な素イデアル」を捉える。台より精密な情報を与えることが多い。

台と随伴素イデアルの関係

$R$ をネーター環、$M$ を有限生成 $R$-加群とする。このとき次が成り立つ。

$\mathrm{Ass}(M)\subset \mathrm{Supp}(M)$ であり、$\mathrm{Supp}(M)$ の極小元は $\mathrm{Ass}(M)$ に属する。したがって

$$\mathrm{Supp}(M)=\bigcup _{\mathfrak{p}\in \mathrm{Ass}(M)}V(\mathfrak{p})$$

が成り立つ。台は随伴素イデアルから「生成」されるのである。

有限性

ネーター環上の有限生成加群に対し、$\mathrm{Ass}(M)$ は有限集合である。これは準素分解の理論と密接に関係している。

$M\ne 0$ ならば $\mathrm{Ass}(M)\ne \varnothing$ である。つまり、非ゼロ有限生成加群は必ず随伴素イデアルをもつ。

具体例

$R=k[x,y]$、$M=R/(x,y{)}^2$ を考える。$\mathrm{Ann}(M)=(x,y{)}^2$ であり、$\sqrt{(x,y{)}^2}=(x,y)$ なので $\mathrm{Supp}(M)=V((x,y))=\{(x,y)\}$ となる。

$\mathrm{Ass}(M)$ を求めると、$(x,y)\in \mathrm{Ass}(M)$ である。実際、$\bar{x}\in M$ に対し $\mathrm{Ann}(\bar{x})=(x,y)$ となる。この例では $\mathrm{Ass}(M)=\mathrm{Supp}(M)=\{(x,y)\}$ と一致している。