クルルの交叉定理はイデアルの冪をどこまで削るのか

ネーター局所環 $(R,\mathfrak{m})$ では、極大イデアルの冪をすべて交わらせると何も残りません^[1]。

$$\bigcap _{n\ge 1}{\mathfrak{m}}^n=0$$

$\mathfrak{m}$ に深く沈んだ元は $0$ しかない、という主張です。ネーター性を外すと途端に崩れます。

主張の 3 つの形

いちばん使うのは局所環の形です。$M$ を有限生成 $R$-加群、$I$ を真のイデアルとすると ${\bigcap }_n{I}^{n}M=0$ が成り立ちます^[1]。

局所でない環でも、$I$ が Jacobson 根基に含まれていれば同じ結論が出ます^[3]。$1+I$ の元が単元になることが効いています。

整域でもよい。ネーター整域なら、真のイデアル $I$ について ${\bigcap }_n{I}^n=0$ です^[4]。

どちらの条件も落とすと成り立ちません。次の節でその例を見ます。

ネーター環でも局所でも整域でもないと崩れる

$R=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ をとります。有限環なのでネーターです^[4]。

$I=(2)$ とすると $2\times 2=4$、$4\times 2=8=2$ なので $I^2=I$。冪を重ねても縮みません。

$$\bigcap _{n\ge 1}{I}^n=I=\{0,2,4\}\ne 0$$

この環は局所でもなく整域でもない。$(2)$ と $(3)$ という 2 つの極大イデアルを持ち、$2\times 3=0$ という零因子があります。

冪等なイデアルがあると、そこで下降が止まります。ネーター性だけでは足りない、という例。

証明は 2 段で終わる

$N={\bigcap }_n{I}^{n}M$ とおきます。Artin-Rees の補題から、ある $c$ について次が成り立ちます^[4]。

$$I^{n}M\cap N=I^{n-c}(I^{c}M\cap N)(n\ge c)$$

$N\subset I^{n}M$ なので左辺は $N$ そのものです。右辺は $I^{n-c}$ が掛かっているので、$n=c+1$ とすれば $N\subset IN$ になります。

逆の包含は明らかなので $IN=N$。$M$ がネーター加群なら $N$ も有限生成なので、中山の補題から $N=0$ が出ます^[1]。

Artin-Rees でイデアルを 1 段外へ出し、中山で消す。この 2 段だけです。

交わりの正体を書き切る形

条件を何も置かずに書くと、交わりは $0$ とは限りません。ネーター環と有限生成加群だけを仮定すると、次の等式になります^[2,3]。

$$\bigcap _{n\ge 0}{I}^{n}M=\{m\in M\mid am=m\text{ となる }a\in I\text{ がある}\}$$

右辺は $1+I$ の元で消される元の集まりです。$I$ が根基に入っていればそれらは単元なので、右辺が $0$ に落ちます。

$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ で確かめます。$m=2$、$a=4\in I$ とすると $4\times 2=8=2$。確かに $am=m$ の形で、交わりに残る理由がそのまま見えます。

一般形のほうが情報量は多い。ただ、実際に使うのは根基の条件を付けた $0$ になる形です。

連続関数の芽では冪が縮まない

原点のまわりの連続関数の芽の全体を $A$ とします。$\mathfrak{m}$ を $f(0)=0$ となる芽の集まりとすると、$A$ は局所環です^[3]。

ここでは ${\mathfrak{m}}^2=\mathfrak{m}$ が成り立ちます。$f\in \mathfrak{m}$ に対して次のように分ければよい。

$$f=(\mathrm{sgn}(f)\sqrt{|f|})\cdot \sqrt{|f|}$$

$\sqrt{|f|}$ は連続で、原点で $0$ になります。符号を付けたほうも同じ。2 つとも $\mathfrak{m}$ に入るので $f\in {\mathfrak{m}}^2$ です。

平方根をとる操作が、いくらでも「浅く」できてしまう。だから冪が縮まず、${\bigcap }_n{\mathfrak{m}}^n=\mathfrak{m}\ne 0$ になります^[3]。

滑らかな関数の芽でも交わりは消えません。${\mathfrak{m}}^n$ は $n-1$ 階までの微分が原点で消える芽なので、交わりは無限位で平らな芽の全体になります。

$e^{-1/x^2}$ を原点で $0$ と定めた関数がその例です。どの階数の微分も原点で消えるのに、関数そのものは $0$ ではありません。

多項式や収束冪級数の環ならこうはならない。テイラー係数がすべて $0$ なら関数も $0$ です。ネーター性の有無が、ここで分かれます。

位相で読み直す

$\{I^n\}$ を $0$ の基本近傍系にとると、$R$ に位相が入ります。$I$ 進位相と呼ばれるものです。

この位相がハウスドルフになる条件が、そのまま ${\bigcap }_n{I}^n=0$ です。交わりが $0$ でなければ、そこに入る元と $0$ が分離できません。

したがってネーター局所環では位相がハウスドルフになる。完備化への自然な写像 $R\to \hat{R}$ が単射になります^[3]。

例：形式的冪級数環と $p$ 進整数環

$R=k[[x]]$、$\mathfrak{m}=(x)$ とします。${\mathfrak{m}}^n$ は $x^n$ で割り切れる級数の全体。

すべての $n$ で割り切れる級数は $0$ だけです。${\bigcap }_n{\mathfrak{m}}^n=0$ が直接見えます。

${\mathbb{Z}}_p$ も同じで、${\bigcap }_n{p}^n{\mathbb{Z}}_p=0$。どの桁まで見ても $0$ が続くなら、その数は $0$ です。

初等的な証明もある

Artin-Rees を使わずに済ませる道もあります。Perdry による証明では、Hilbert の基底定理だけを使います^[4]。

$I=(a_1,\dots ,a_{\ell })$、${\bigcap }_n{I}^n=(b_1,\dots ,b_k)$ と書きます。$b_j\in I^n$ なので、$b_j=p_n(a_1,\dots ,a_{\ell })$ となる $n$ 次の斉次多項式 $p_n$ がとれる。

$J_n=(p_1,\dots ,p_n)$ という多項式環のイデアルの列を作ると、基底定理から昇鎖が止まります。$p_{n+1}\in J_n$ となる段が来る。

そこで $p_{n+1}$ を $p_1,\dots ,p_n$ で書き直し、$a_i$ を代入すると $b_j=r_j{b}_j$ の形になります。$r_j\in I$ なので $(1-r_j)b_j=0$。

すべての $j$ について掛け合わせると、$(1-r)$ が交わり全体を消します。$r\in I$ です。

確かめかた

主張が正しいかどうかは、冪等なイデアルがあるかどうかで見当が付きます。

$I^2=I$ となる真のイデアルがあれば、その $I$ で交わりは $I$ のまま。$0$ にはなりません。

ネーター局所環では、$I^2=I$ から中山の補題で $I=0$ が出ます。だから真のイデアルには冪等なものがない。

冪を重ねて縮むかどうか。それだけの話が、完備化の単射性まで支えています。

出典