Krullの交叉定理

Krull の交叉定理は、ネーター環においてイデアルの冪の共通部分がどうなるかを述べる。完備化の理論と密接に関係し、局所環論における基本定理の一つである。

定理の主張

$(R,\mathfrak{m})$ をネーター局所環、$I$ を $R$ の真のイデアルとする。このとき

$$\bigcap _{n=1}^{\infty }{I}^n=0$$

が成り立つ。

より一般に、$R$ をネーター環、$I$ を $R$ のイデアル、$M$ を有限生成 $R$-加群とすると、${\bigcap }_n{I}^{n}M$ は $I$ に属する非単元で零化される。特に、$I$ が Jacobson 根基に含まれるなら ${\bigcap }_n{I}^{n}M=0$ である。

証明の概略

証明には Artin-Rees の補題を用いる。$M$ を有限生成 $R$-加群、$N\subset M$ を部分加群とすると、ある整数 $k$ が存在して

$$I^{n}M\cap N=I^{n-k}(I^{k}M\cap N)(n\ge k)$$

が成り立つ。これが Artin-Rees の補題である。

$N={\bigcap }_n{I}^{n}M$ とおくと、$N\subset I^{n}M$ より $N=I^{n}M\cap N=I^{n-k}(I^{k}M\cap N)=I^{n-k}N$ となる。$n$ を十分大きくとれば $I^{n-k}$ は任意に深くなり、中山の補題から $N=0$ が従う。

反例：ネーター性の必要性

ネーター環でなければ Krull の交叉定理は成り立たない。例として、$R=k[x_1,x_2,\dots ]$ を無限変数多項式環、$I=(x_1,x_2,\dots )$ とする。

このとき $I^n\supset (x_1^n,x_2^n,\dots )$ であり、${\bigcap }_n{I}^n\ne 0$ となりうる。ネーター性が本質的に必要なのである。

応用：完備化との関係

Krull の交叉定理は、$\mathfrak{m}$-進位相がハウスドルフであることを保証する。したがって、自然な写像 $R\to \hat{R}$（完備化）は単射となる。

これにより、局所環はその完備化の中に埋め込まれる。完備化は「より大きな」環だが、元の環の情報を失わない。

整域における別証明

$R$ がネーター整域、$I$ が真のイデアルのとき、Krull の交叉定理は別の方法でも示せる。

$x\in {\bigcap }_n{I}^n$ とすると、各 $n$ に対し $x=a_n{y}_n$（$a_n\in I^n$）と書ける。$(x)=I^n(y_n)$ という関係からイデアルの上昇列 $(y_1)\subset (y_2)\subset \cdots$ が得られ、ネーター性から有限回で停止する。これを追うと $x=0$ が導かれる。