被約環と既約成分〜冪零元を落としても Spec は変わらない

$k[x]/(x^2)$ と $k$ は違う環です。ところが $\mathrm{Spec}$ はどちらも 1 点で、位相空間としては区別が付きません。

違いは $\bar{x}$ にあります。$\bar{x}\ne 0$ なのに ${\bar{x}}^2=0$ という冪零元で、素イデアルの集合には現れません。

被約環とニルラジカル

冪零元が $0$ だけの環を被約といいます。$r^n=0$ となる $n$ があれば $r=0$、という条件です。

冪零元の全体はイデアルになります。これをニルラジカルと呼び、$\mathfrak{N}(R)=\sqrt{(0)}$ と書きます。被約であることと $\mathfrak{N}(R)=0$ は同じ条件です。

$R/\mathfrak{N}(R)$ はつねに被約で、これを $R$ の被約化といいます。$\mathfrak{N}(R)$ は $R$ のすべての素イデアルの共通部分でもあるので、素イデアルの側からも取り出せます^[1]。

被約化で Spec は変わらない

素イデアルは冪零元をすべて含むため、$\mathfrak{N}(R)$ を含みます。したがって $R\to R/\mathfrak{N}(R)$ は素イデアルどうしを過不足なく対応させます。

この対応は閉集合も保つので、$\mathrm{Spec}R$ と $\mathrm{Spec}{R}_{\mathrm{red}}$ は同相です^[1]。

変わるのは環のほうです。$k[x]/(x^2)$ の元は $a+b\bar{x}$ と書け、$a$ が原点での値、$b$ が原点での 1 次の係数にあたります。被約化するとこの $b$ が落ちます。

代数幾何では $b$ が接ベクトルの役をします。冪零元は点の個数を増やさないかわりに、点の上に 1 次の情報を載せています。

既約な位相空間

空でない位相空間 $X$ が既約であるとは、$X$ を 2 つの真の閉部分集合の和として書けないことをいいます^[2]。

$\mathrm{Spec}R$ の既約な閉部分集合は $V(\mathfrak{p})$ の形に限られ、素イデアル $\mathfrak{p}$ と 1 対 1 に対応します^[2]。

極大な既約閉部分集合を既約成分といいます。上の対応で、既約成分は極小素イデアルに対応します^[2]。

ネーター空間なら成分は有限個

閉集合の減少列が必ず止まる空間を、ネーター空間といいます^[1]。ヒルベルトの基底定理から、ネーター環のスペクトルはネーター空間になります^[1,2]。

ネーター空間は有限個の既約成分の和に書けます^[2]。どの成分も残りの和には含まれず、全部あわせると空間を覆います。

したがってネーター環では、極小素イデアルも有限個で止まります。

例：2 本の軸

$R=k[x,y]/(xy)$ をとります。$k[x,y]$ では $(x)\cap (y)=(xy)$ で、$(xy)$ は 2 つの素イデアルの共通部分です。

共通部分は根基イデアルなので、商の $R$ は被約になります。$x$ と $y$ が冪零でないことだけでは、被約かどうかは決まりません。

$\mathrm{Spec}R$ は $V(x)$ と $V(y)$ の和で、$V(x)$ は $y$ 軸、$V(y)$ は $x$ 軸にあたります。これが 2 つの既約成分です^[2]。

$$\mathrm{Spec}R=V((x))\cup V((y))$$

$R$ の極小素イデアルは、$(x)$ と $(y)$ が定める 2 つです。極小素イデアルが 2 つあるので $R$ は整域ではありません。実際 $\bar{x}\bar{y}=0$ で、どちらも $0$ ではありません。

既約と連結は別のこと

$R=k[x]\times k[y]$ も被約で、既約成分は 2 つです。ところが $k[x,y]/(xy)$ とは様子が違います。

こちらは 2 本の直線が離れています。$e=(1,0)$ が $e^2=e$ を満たす冪等元で、空間を 2 つに分けています。

$\mathrm{Spec}R$ の開かつ閉な部分集合は冪等元と対応します^[4]。自明でない冪等元があれば空間は連結ではありません。

$k[x,y]/(xy)$ の冪等元は $0$ と $1$ だけです。2 本の軸が原点で交わっているので、切り離せません。

被約かつ既約なら整域

$R$ が整域であることと、$R$ が被約かつ $\mathrm{Spec}R$ が既約であることは同値です^[3]。

整域なら $(0)$ が素イデアルなので、ニルラジカルは $(0)$ で、極小素イデアルも $(0)$ だけです。被約で既約になります。

逆に被約かつ既約とします。既約性からニルラジカルは素イデアルで、被約性からそれは $(0)$ です。つまり $(0)$ が素イデアルで、$R$ は整域になります^[3]。

$\mathrm{Spec}R$ が既約であることは、極小素イデアルがちょうど 1 つであることと同値です。ネーター性は要りません。

零因子は既約成分の上に乗る

$R$ を被約なネーター環とします。極小素イデアルは有限個で、その共通部分は $(0)$ です^[3]。

このとき零因子の全体は、極小素イデアルの和集合になります^[3]。

図形で読むと、零因子とはどれかの既約成分の上で消えている関数のことです。全体で消えていなくても、成分 1 つの上で消えていれば、掛けて $0$ になる相手がいます。

$k[x,y]/(xy)$ なら、$\bar{x}$ は $y$ 軸の上で消えています。$x$ 軸の上で消えている $\bar{y}$ を掛けると、2 本の軸の全体で $0$ になります。

被約化で落ちるもの

被約化は $\mathrm{Spec}$ を変えません。それでも環の情報は落ちます。

$k[x]/(x^2)$ の被約化は $k$ で、$\bar{x}$ が持っていた原点での 1 次の情報が消えます。接空間や変形を扱うときは、この情報のほうが主役になります。

図形に現れないから不要、とはなりません。点の集合だけを見るか、環まで見るかで、扱える対象が変わります。

点の集合と位相だけを見ると、$k[x]/(x^2)$ と $k$ は同じものに見えます。環まで見ると $\bar{x}$ が残っていて、この差がそのまま非被約なスキームを扱う理由になります。

参考