冪零元は図形に映らない……被約環と既約成分の対応

$k [x] / (x^{2})$ と $k$ は違う環です。ところがスペクトルはどちらも 1 点で、位相空間としては区別が付きません。

差は $x$ という冪零元にあります。 $x \neq = 0$ なのに $x^{2} = 0$ 。図形の側に映らない元です。

被約であるとは

冪零元が $0$ しかない環を被約といいます。 $r^{n} = 0$ から $r = 0$ が従うこと。

冪零元の全体はイデアルになります。これをニルラジカルと呼び、 $N (R) = (0)$ と書きます。

被約であることと $N (R) = 0$ は同値です。 $R / N (R)$ はつねに被約で、これを $R$ の被約化といいます。

ニルラジカルは、 $R$ のすべての素イデアルの共通部分と一致します。素イデアルの側から見ても定義できる量です。

スペクトルは変わらない

$R \to R / N (R)$ は素イデアルの対応を保ちます。素イデアルはニルラジカルを含むためです。

したがって $Spec R$ と $Spec R_{red}$ は位相空間として同じもの。冪零元は図形の側に何も足しません。

$k [x] / (x^{2})$ の素イデアルは $(x)$ だけ。 $k$ の素イデアルは $(0)$ だけ。どちらも 1 点です。

とはいえ環としては違います。関数のなす環に厚みが乗っている、と考えると近い。接ベクトルの情報がそこに入ります。

既約な位相空間

$X$ が既約であるとは、空でなく、2 つの真の閉部分集合の和として書けないこと^[2]。

離散位相の空間なら、既約な部分集合は 1 点だけです。無限体の上のアフィン空間は、Zariski 位相で既約になります^[2]。

$Spec R$ の既約な閉部分集合は $V (p)$ の形をしています。素イデアルと 1 対 1 に対応する。

極大な既約閉部分集合を既約成分といいます^[2]。極小素イデアルに対応するものです。

ネーター空間なら成分は有限個

閉集合の減少列がいつか止まる空間を、ネーター空間といいます^[1]。

多項式環がネーターなので、Hilbert の基底定理からアフィン空間はネーター空間になります^[1,2]。

ネーター空間は有限個の既約成分の和に分かれます^[2]。どの成分も残りの和に含まれず、全部あわせて空間を覆う。

したがってネーター環のスペクトルは、有限個の既約成分に分かれます。極小素イデアルも有限個。

一般の環

極小素イデアルが無限個ありうる。既約成分も無限個

ネーター環

極小素イデアルは有限個。分解が有限で終わる

例：軸の十字

$R = k [x, y] / (x y)$ をとります。 $x y = 0$ ですが、 $x$ も $y$ も冪零ではありません。だから $R$ は被約です。

図形は $x = 0$ と $y = 0$ の 2 本の直線の和。既約成分はこの 2 本になります^[2]。

$V ((x)) \cup V ((y)) = Spec R$

極小素イデアルは $(x)$ と $(y)$ の像です。2 つあるので、この環は整域ではありません。

被約だが既約でない、という状態がここにあります。 $x \cdot y = 0$ が零因子の存在を示している。

既約と連結は別のこと

$R = k [x] \times k [y]$ も被約で、既約成分が 2 つあります。ところが前の例とは様子が違う。

こちらは $2$ 本の直線が離れています。 $e = (1, 0)$ が $e^{2} = e$ を満たす冪等元で、空間を 2 つに割っている。

$Spec R$ の開かつ閉な部分集合は、冪等元とちょうど対応します^[4]。自明でない冪等元があれば、空間は連結でない。

$k [x, y] / (x y)$ では冪等元が $0$ と $1$ しかありません。2 本の直線が原点で交わっているので、切り離せない。

既約成分が 2 つあることと、空間が 2 つに分かれることは別の条件です。

交わっていれば連結のまま。分かれるかどうかは冪等元の有無で決まります。

被約かつ既約なら整域

$R$ が整域であることと、 $R$ が被約かつ $Spec R$ が既約であることは同値です。

整域なら $(0)$ が素イデアルなので、ニルラジカルは $0$ 、極小素イデアルも $(0)$ だけ。被約で既約になります。

逆に被約かつ既約とします。既約なのでニルラジカルが素イデアル、被約なのでそれが $(0)$ 。つまり $(0)$ が素で、整域です^[3]。

ネーター環なら、極小素イデアルが 1 つであることが既約性と同じ意味になります^[3]。

被約環では零因子が成分の上に乗る

$R$ を被約なネーター環とします。極小素イデアルは有限個で、その共通部分は $(0)$ です^[3]。

さらに、零因子の全体はそれら極小素イデアルの和集合になります^[3]。

図形で読むと、零因子とはどれかの既約成分の上で消えている関数のこと。全体では消えていなくても、成分ひとつで消えていれば相棒が見つかります。

$k [x, y] / (x y)$ なら、 $x$ は $y$ 軸の上で消える関数です。相棒の $y$ を掛けると $0$ になる。

被約化で失われるもの

被約化はスペクトルを変えません。それでも情報は落ちます。

$k [x] / (x^{2})$ の被約化は $k$ です。もとの環にあった $x$ は、原点での 1 次の情報を持っていました。

代数幾何では、この厚みを使って接空間や変形を扱います。図形に映らないから不要、とはなりません。

被約化しても素イデアルの集合と位相は変わらない。

変わるのは環の構造で、冪零な方向の情報が落ちる。

極小素イデアルの個数は既約成分の個数と一致する。

既約成分の個数と連結成分の個数は別のもの。

被約なネーター環では、零因子が極小素イデアルの和集合になる。

$R = k [x, y] / (x^{2}, x y)$ について正しいのはどれですか。

被約である
被約ではないが、 $Spec R$ は既約である
$Spec R$ の既約成分は 2 つある

__RESULT__

$x^{2} = 0$ かつ $x \neq = 0$ なので被約ではありません。素イデアルは $(x)$ を含むものだけで、極小素イデアルは $(x)$ の 1 つ。したがってスペクトルは $y$ 軸そのもので、既約になります。

つまずきやすいところ

被約であることと整域であることを同じだと思う。軸の十字が反例です。

既約成分が複数あれば連結でないと考える。交わっていれば連結のままです。

冪零元がスペクトルに影響すると思う。位相空間としては何も変わりません。

極小素イデアルが有限個だと決めてかかる。ネーター性がないと無限個ありえます。

被約化で情報が失われないと考える。接空間や変形の情報が落ちます。

図形に映るのは素イデアルまで。映らない厚みが環の側に残っている。この差が代数幾何の出発点になります。

参考

Nicolas Perrin. *Algèbre commutative*, §6.3. Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines.

Wolfgang Soergel. *Kommutative Algebra und Geometrie*, §4.1. Universität Freiburg.

Michel Waldschmidt. *Algèbre commutative*, Lemme 1.3.1 と Proposition 1.3.2. Institut de Mathématiques de Jussieu.

Lemma 10.21.3. The Stacks Project.

$k[x]/(x^2)$ と $k$ はスペクトルが同じ 1 点です。冪零元は素イデアルの側に何も足しません。被約化しても位相空間は変わらず、落ちるのは環の厚みのほう。既約成分は極小素イデアルに対応し、ネーター環なら有限個で止まります。既約成分が 2 つあることと空間が 2 つに分かれることは別で、分かれるかどうかは冪等元の有無で決まる。被約かつ既約なら整域、という同値まで見ます。