被約環と既約成分

被約環と既約成分は、環のスペクトルを幾何学的に理解するための基本概念である。被約性はニルポテント元の不在を意味し、既約成分はスペクトルの分解に対応する。

被約環の定義

可換環 $R$ が被約（reduced）であるとは、ニルポテント元が $0$ のみであることをいう。すなわち、 $r^{n} = 0$ となる $n \geq 1$ が存在するならば $r = 0$ である。

環 $R$ のニルラジカル $N (R) = (0)$ は、すべてのニルポテント元からなるイデアルである。 $R$ が被約であることと $N (R) = 0$ は同値だ。

被約環

ニルポテント元をもたない。 $N (R) = 0$ 。

非被約環

非ゼロのニルポテント元が存在。 $N (R) \neq = 0$ 。

任意の環 $R$ に対し、 $R_{red} = R / N (R)$ は被約環となる。これを $R$ の被約化（reduction）という。

被約化は $R$ のスペクトルを変えない。つまり $Spec R ≅ Spec R_{red}$ が位相空間として成り立つ。ニルラジカルは「幾何学的には見えない」のである。

位相空間 $X$ が既約（irreducible）であるとは、 $X$ を 2 つの真の閉部分集合の和として書けないことをいう。 $Spec R$ の既約閉部分集合は、素イデアル $p$ に対する $V (p)$ の形をとる。

$Spec R$ の既約成分（irreducible component）とは、極大な既約閉部分集合のことである。

既約成分と極小素イデアル

$Spec R$ の既約成分は、 $R$ の極小素イデアル $p$ に対する $V (p)$ として得られる。

有限性（ネーター環の場合）

$R$ がネーター環ならば、 $Spec R$ の既約成分は有限個。

$R$ が整域であることと、 $Spec R$ が既約であることは同値だ。整域では $(0)$ が素イデアルであり、 $V ((0)) = Spec R$ が既約成分となる。

$R$ が被約かつ既約成分が一つなら、 $R$ は整域である。一方、被約だが既約でない環もある。たとえば $R = k [x] \times k [y]$ は被約だが、 $Spec R$ は 2 つの既約成分をもつ。

$R = k [x, y] / (x y)$ を考える。 $x y = 0$ だが $x, y$ 自身はニルポテントでないので、 $R$ は被約である。 $Spec R$ は 2 つの既約成分をもつ。

$V ((x)) \cup V ((y)) = Spec R$

幾何学的には、 $x y = 0$ は 2 本の直線 $x = 0$ と $y = 0$ の和集合を定める。各直線が既約成分に対応している。

$R = k [x] / (x^{2})$ は非被約である。 $x$ はニルポテント（ $x^{2} = 0$ ）だからだ。 $R_{red} = k [x] / (x) ≅ k$ となり、スペクトルは 1 点になる。