ヘンゼル環とヘンゼルの補題

ヘンゼル環とヘンゼルの補題は、局所環における多項式の因数分解を扱う理論である。完備局所環がヘンゼル環の典型例であり、代数方程式の解の持ち上げに関する強力な結果を与える。

ヘンゼルの補題

$(R,\mathfrak{m},k)$ を局所環とし、$f(x)\in R[x]$ とする。$\bar{f}(x)\in k[x]$ を $f$ の剰余体への像とする。

ヘンゼルの補題（Hensel’s lemma）の一つの形は次のようになる：$\bar{f}(x)=\bar{g}(x)\bar{h}(x)$ と $k[x]$ で互いに素な因子に分解できるとき、$f(x)=g(x)h(x)$ となる $g,h\in R[x]$ が存在し、$g\equiv \bar{g}$、$h\equiv \bar{h}(\mathrm{mod}\mathfrak{m})$ となる。

ヘンゼル環の定義

局所環 $(R,\mathfrak{m})$ がヘンゼル環（Henselian ring）であるとは、ヘンゼルの補題が成り立つことをいう。同値な条件として、以下がある。

完備局所環はヘンゼル環

$\mathfrak{m}$-進完備局所環はヘンゼル環である。これがヘンゼル環の最も重要な例だ。

証明のアイデアは Newton 法の収束に似ている。$f({\alpha }_0)\equiv 0(\mathrm{mod}\mathfrak{m})$ かつ $f^{\prime }({\alpha }_0)\not\equiv 0$ のとき、

$${\alpha }_{n+1}={\alpha }_n-\frac{f({\alpha }_n)}{f^{\prime }({\alpha }_n)}$$

という列を構成すると、$\{{\alpha }_n\}$ は $\mathfrak{m}$-進位相でコーシー列となる。完備性により極限 $\alpha =\lim {\alpha }_n$ が存在し、$f(\alpha )=0$ となる。

ヘンゼル化

任意の局所環 $(R,\mathfrak{m})$ に対し、ヘンゼル化（Henselization）$R^h$ が存在する。$R^h$ はヘンゼル環であり、$R\to R^h$ という局所準同型で普遍的なものとなる。

$R^h$ は $R$ の狭義エタール拡大の帰納極限として構成できる。$R$ が完備なら $R^h=R$ である。

具体例

$R={\mathbb{Z}}_{(p)}$（$\mathbb{Z}$ の $p$ における局所化）はヘンゼル環ではない。たとえば $f(x)=x^2-2$ は ${\mathbb{F}}_p$（$p\ne 2$ で $2$ が平方剰余のとき）に単純根をもつが、${\mathbb{Z}}_{(p)}$ に根をもたない。

一方、${\mathbb{Z}}_p$（$p$-進整数環）は完備なのでヘンゼル環である。上の $f(x)=x^2-2$ は ${\mathbb{Z}}_p$ で（$p\ne 2$ かつ $2$ が平方剰余のとき）根をもつ。

応用

ヘンゼル環は代数幾何学において、スキームの局所的性質を調べる際に現れる。形式的近傍を扱う完備局所環、エタール局所性を扱うヘンゼル化が重要な役割を果たす。