持ち上げができれば滑らか - 形式的滑らかさと非分岐性

$A$ を環、$I\subset A$ を $I^2=0$ のイデアルとします。$R\to S$ が形式的に滑らかとは、$S\to A/I$ がつねに $S\to A$ へ持ち上がることをいいます^[1]。

$A/I$ から $A$ へ戻る向きに写像を延ばす。厚みが $0$ の近傍から、わずかに厚みのある近傍へ広げる操作です。

持ち上げで定義する

$R$-代数 $A$ と $I^2=0$ のイデアル $I$ をとります。$R$-代数の射の集合について、次の写像を見ます^[2]。

$${\mathrm{Hom}}_R(S,A)⟶{\mathrm{Hom}}_R(S,A/I)$$

これが全射なら形式的に滑らか、単射なら形式的に非分岐、全単射なら形式的にエタールです^[2]。

条件は $I$ が冪零でも同じになります。冪零なら $I\supset I^2\supset \cdots$ を刻んで、各段で $2$ 乗が $0$ の拡大に分けられるためです^[2]。

両方を満たすものが形式的にエタールです。ちょうど 1 本だけ持ち上がる。

非分岐は微分加群が消えること

形式的に非分岐であることと ${\Omega }_{S/R}=0$ は同値です^[2]。

$S\to A/I$ の持ち上げが 2 つあるとします。差 $f-g$ は $I$ に値をとり、$I^2=0$ なので $R$ 導分になる。

導分の全体は ${\mathrm{Hom}}_S({\Omega }_{S/R},I)$ と一致します。${\Omega }_{S/R}=0$ なら導分が $0$ しかないので、持ち上げは高々 1 本^[2]。

逆向きも同じ計算で出ます。$T=S\oplus {\Omega }_{S/R}$ に $2$ 乗が $0$ の積を入れると、異なる 2 本の持ち上げが作れる。

微分がすべて消えるとは、接ベクトルの動く余地がないということ。分岐がない、という言葉と合っています。

多項式環は形式的に滑らか

$S=R[x_1,\dots ,x_n]$ をとります^[2]。$S\to A/I$ が与えられたら、各 $x_i$ の行き先を $A$ の中で勝手に選べばよい。

多項式環は変数の行き先で射が決まるので、持ち上げの障害がありません。自由に選べるぶん、持ち上げは何本もある。

局所化も形式的に滑らかです。さらに、形式的に滑らかな射は基底変換と合成で保たれます^[2]。

剰余環はいつ滑らかか

$B$ を $A$ 上形式的に滑らか、$I\subset B$ をイデアルとします。$C=B/I$ が形式的に滑らかになる条件が知られています^[2]。

$$I/I^2⟶{\Omega }_{B/A}{\otimes }_{B}C$$

この写像が切断を持つこと、つまり余法列が分裂することが必要十分です^[2]。

多項式環を $B$ にとると、この条件がヤコビ行列の階数の条件になります。関係式の本数だけ独立な微分が出るかどうか。

例：ヤコビ行列で判定する

$S=k[x_1,\dots ,x_n]/(f_1,\dots ,f_r)$ とします。点 $p$ でのヤコビ行列を考えます。

$$J=\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(p)\right)$$

$J$ の階数が $r$ なら、$S$ は $p$ の近くで滑らかです。関係式が独立に効いていて、余法列が分裂する。

階数が落ちる点が特異点になります。滑らかさは局所的な条件で、点ごとに判定します^[3]。

例：尖点と楕円曲線

$S=k[x,y]/(y^2-x^3)$ をとります。$f=y^2-x^3$ の偏微分は $-3x^2$ と $2y$。

原点では両方が $0$ になります。ヤコビ行列の階数が $0$ に落ちるので、原点で滑らかではありません。

$S=k[x,y]/(y^2-x^3-x)$ に替えます。標数が $2$ でも $3$ でもないとします。

偏微分は $-3x^2-1$ と $2y$ です。両方が消えるには $y=0$ かつ $3x^2=-1$。

曲線上で $y=0$ なら $x^3+x=0$ なので、$x=0$ か $x^2=-1$ です。$x=0$ なら $-3x^2-1=-1\ne 0$、$x^2=-1$ なら $-3x^2-1=2\ne 0$。

どの点でも階数が落ちません。この曲線は全体で滑らかです。

例：体の拡大で見る

$k\subset \ell$ を有限次拡大とします。分離拡大なら ${\Omega }_{\ell /k}=0$ なので、形式的に非分岐、しかもエタールです^[4]。

分離でない場合は事情が変わります。$k={\mathbb{F}}_p(t)$、$\ell =k(t^{1/p})$ をとります。

$u=t^{1/p}$ とおくと $u^p=t$ で、微分すると $p{u}^{p-1}du=0$。標数が $p$ なので左辺は $0$ です。

つまり $du$ に関係式が付きません。${\Omega }_{\ell /k}\cong \ell du$ は $0$ ではないので、非分岐でもエタールでもない。

拡大次数は $p$ で、次元としては $0$ 次元どうしの拡大です。それでも微分が残る。純非分離な拡大が滑らかでない理由がここにあります。

滑らかと形式的に滑らか

有限表示という条件を足したものが、滑らかな射です^[2]。

$$\text{滑らか}=\text{形式的に滑らか}+\text{有限表示}$$

同じように、非分岐は形式的に非分岐と有限型、エタールは形式的にエタールと有限表示を合わせたものになります。

ネーター環上で本質的に有限型なら、形式的な滑らかさが平坦性と ${\Omega }_{S/R}$ の射影性で言いかえられます。幾何の言葉では、各点の接空間の次元がそろっていること。

幾何で読み直す

$I^2=0$ の拡大は、点にわずかな厚みを付けたものにあたります。$\mathrm{Spec}(A/I)$ から $\mathrm{Spec}(A)$ へ広げる操作。

形式的に滑らかとは、その厚みの方向へいつでも変形を延ばせるということ。障害がない、と言ってもよい。

尖点では延ばせません。原点で接する方向が定まらないので、厚みを付けた先に写像が届かない。

まちがえやすい点

厚みを付けた先へ写像を延ばせるか。この一問の答えが、滑らかさと分岐の言葉を作っています。

参考