持ち上げができれば滑らか - 形式的滑らかさと非分岐性

$A$ を環、 $I \subset A$ を $I^{2} = 0$ のイデアルとします。 $R \to S$ が形式的に滑らかとは、 $S \to A / I$ がつねに $S \to A$ へ持ち上がることをいいます^[1]。

$A / I$ から $A$ へ戻る向きに写像を延ばす。厚みが $0$ の近傍から、わずかに厚みのある近傍へ広げる操作です。

持ち上げで定義する

$R$ -代数 $A$ と $I^{2} = 0$ のイデアル $I$ をとります。 $R$ -代数の射の集合について、次の写像を見ます^[2]。

$Hom_{R} (S, A) ⟶ Hom_{R} (S, A / I)$

これが全射なら形式的に滑らか、単射なら形式的に非分岐、全単射なら形式的にエタールです^[2]。

条件は $I$ が冪零でも同じになります。冪零なら $I \supset I^{2} \supset \dots$ を刻んで、各段で $2$ 乗が $0$ の拡大に分けられるためです^[2]。

形式的に滑らか

持ち上げが存在する。何本あってもよい

形式的に非分岐

持ち上げは高々 1 本。存在しなくてもよい

両方を満たすものが形式的にエタールです。ちょうど 1 本だけ持ち上がる。

非分岐は微分加群が消えること

形式的に非分岐であることと $Ω_{S / R} = 0$ は同値です^[2]。

$S \to A / I$ の持ち上げが 2 つあるとします。差 $f - g$ は $I$ に値をとり、 $I^{2} = 0$ なので $R$ 導分になる。

導分の全体は $Hom_{S} (Ω_{S / R}, I)$ と一致します。 $Ω_{S / R} = 0$ なら導分が $0$ しかないので、持ち上げは高々 1 本^[2]。

逆向きも同じ計算で出ます。 $T = S \oplus Ω_{S / R}$ に $2$ 乗が $0$ の積を入れると、異なる 2 本の持ち上げが作れる。

微分がすべて消えるとは、接ベクトルの動く余地がないということ。分岐がない、という言葉と合っています。

多項式環は形式的に滑らか

$S = R [x_{1}, \dots, x_{n}]$ をとります^[2]。 $S \to A / I$ が与えられたら、各 $x_{i}$ の行き先を $A$ の中で勝手に選べばよい。

多項式環は変数の行き先で射が決まるので、持ち上げの障害がありません。自由に選べるぶん、持ち上げは何本もある。

局所化も形式的に滑らかです。さらに、形式的に滑らかな射は基底変換と合成で保たれます^[2]。

多項式環

R [x_{1}, \dots, x_{n}]

は

R

上つねに形式的に滑らか。

局所化

R \to S^{- 1} R

も形式的に滑らか。

形式的に滑らかな射どうしの合成は、また形式的に滑らか。

基底変換で形式的な滑らかさは保たれる。

剰余環はいつ滑らかか

$B$ を $A$ 上形式的に滑らか、 $I \subset B$ をイデアルとします。 $C = B / I$ が形式的に滑らかになる条件が知られています^[2]。

$I / I^{2} ⟶ Ω_{B / A} \otimes_{B} C$

この写像が切断を持つこと、つまり余法列が分裂することが必要十分です^[2]。

多項式環を $B$ にとると、この条件がヤコビ行列の階数の条件になります。関係式の本数だけ独立な微分が出るかどうか。

例：ヤコビ行列で判定する

$S = k [x_{1}, \dots, x_{n}] / (f_{1}, \dots, f_{r})$ とします。点 $p$ でのヤコビ行列を考えます。

$J = (\frac{\partial f _{i}}{\partial x _{j}} (p))$

$J$ の階数が $r$ なら、 $S$ は $p$ の近くで滑らかです。関係式が独立に効いていて、余法列が分裂する。

階数が落ちる点が特異点になります。滑らかさは局所的な条件で、点ごとに判定します^[3]。

例：尖点と楕円曲線

$S = k [x, y] / (y^{2} - x^{3})$ をとります。 $f = y^{2} - x^{3}$ の偏微分は $- 3 x^{2}$ と $2 y$ 。

原点では両方が $0$ になります。ヤコビ行列の階数が $0$ に落ちるので、原点で滑らかではありません。

$S = k [x, y] / (y^{2} - x^{3} - x)$ に替えます。標数が $2$ でも $3$ でもないとします。

偏微分は $- 3 x^{2} - 1$ と $2 y$ です。両方が消えるには $y = 0$ かつ $3 x^{2} = - 1$ 。

曲線上で $y = 0$ なら $x^{3} + x = 0$ なので、 $x = 0$ か $x^{2} = - 1$ です。 $x = 0$ なら $- 3 x^{2} - 1 = - 1 \neq = 0$ 、 $x^{2} = - 1$ なら $- 3 x^{2} - 1 = 2 \neq = 0$ 。

どの点でも階数が落ちません。この曲線は全体で滑らかです。

例：体の拡大で見る

$k \subset ℓ$ を有限次拡大とします。分離拡大なら $Ω_{ℓ / k} = 0$ なので、形式的に非分岐、しかもエタールです^[4]。

分離でない場合は事情が変わります。 $k = F_{p} (t)$ 、 $ℓ = k (t^{1/ p})$ をとります。

$u = t^{1/ p}$ とおくと $u^{p} = t$ で、微分すると $p u^{p - 1} d u = 0$ 。標数が $p$ なので左辺は $0$ です。

つまり $d u$ に関係式が付きません。 $Ω_{ℓ / k} ≅ ℓ d u$ は $0$ ではないので、非分岐でもエタールでもない。

拡大次数は $p$ で、次元としては $0$ 次元どうしの拡大です。それでも微分が残る。純非分離な拡大が滑らかでない理由がここにあります。

滑らかと形式的に滑らか

有限表示という条件を足したものが、滑らかな射です^[2]。

$滑らか = 形式的に滑らか + 有限表示$

同じように、非分岐は形式的に非分岐と有限型、エタールは形式的にエタールと有限表示を合わせたものになります。

ネーター環上で本質的に有限型なら、形式的な滑らかさが平坦性と $Ω_{S / R}$ の射影性で言いかえられます。幾何の言葉では、各点の接空間の次元がそろっていること。

形式的という語が付くのは、有限性の条件を課していないためです。

持ち上げの条件だけを見るので、無限次元のものにも当てはめられます。局所化や完備化が形式的に滑らかになるのはそのためです。

幾何で読み直す

$I^{2} = 0$ の拡大は、点にわずかな厚みを付けたものにあたります。 $Spec (A / I)$ から $Spec (A)$ へ広げる操作。

形式的に滑らかとは、その厚みの方向へいつでも変形を延ばせるということ。障害がない、と言ってもよい。

尖点では延ばせません。原点で接する方向が定まらないので、厚みを付けた先に写像が届かない。

$k$ を標数 $0$ の体とし、 $S = k [x, y] / (x y)$ とします。 $S$ は $k$ 上どこで滑らかですか。

どの点でも滑らか
原点を除いて滑らか
どこでも滑らかでない

__RESULT__

$f = x y$ の偏微分は $y$ と $x$ です。両方が消えるのは原点だけで、そこは 2 本の直線が交わる点にあたります。ほかの点ではヤコビ行列の階数が $1$ なので滑らかです。

まちがえやすい点

形式的に滑らかなら有限表示だと思う。有限性は別に課す条件です。

非分岐を「持ち上げが存在しない」と読む。正しくは高々 1 本という意味です。

Ω_{S / R} = 0

を滑らかさの条件だと考える。それは非分岐の条件になります。

有限次の体拡大がつねにエタールだと思う。分離でない拡大では崩れます。

特異点の判定でヤコビ行列の階数を数え違える。関係式の本数と比べます。

厚みを付けた先へ写像を延ばせるか。この一問の答えが、滑らかさと分岐の言葉を作っています。

参考

Formally smooth ring maps, Definition 10.138.1. The Stacks Project.

Akhil Mathew. *Étale, unramified, and smooth morphisms*, §1–2. University of Chicago.

Wolfgang Soergel. *Kommutative Algebra und Geometrie*, §8.5. Universität Freiburg.

Jens Franke. *Lecture Notes for Étale Cohomology I*. Universität Bonn.

$I^2 = 0$ のイデアルで割った先から元へ、射をいつでも延ばせるか。この一問で滑らかさが決まります。持ち上げが存在すれば形式的に滑らか、高々 1 本なら非分岐、ちょうど 1 本ならエタール。非分岐は $\Omega_{S/R} = 0$ と同値で、差が導分になることから出ます。多項式環がつねに滑らかなこと、余法列の分裂がヤコビ行列の階数条件になること、$\mathbb{F}_p(t^{1/p})$ が滑らかでない理由まで。