ルービックキューブ群論の核心：位数の導出とパリティ制約

ルービックキューブの全状態数――すなわちルービックキューブ群の位数――は約 4325 京（$4.33\times 10^{19}$）である。この巨大な数がどこから来るのか、3 つのパリティ制約とともに厳密に導出するのが本記事の目的だ。

制約なしの場合の数え上げ

前回の記事で、ルービックキューブの状態は 4 つ組 $({\sigma }_c,{\sigma }_e,\mathbf{x},\mathbf{y})$ で記述されることを見た。もし何の制約もなければ、各成分の取りうる値の数は次の通りだ。

制約なしの全組み合わせは

$$8!\times 12!\times 3^8\times 2^{12}=519,024,039,293,878,272,000$$

約 $5.19\times 10^{20}$ である。しかし、物理的に実現可能な状態はこのすべてではない。ルービックキューブを分解せずに到達できる状態には、3 つの独立な制約が課される。

第 1 の制約：コーナーツイストの保存

8 個のコーナーの向き $x_1,\dots ,x_8\in {\mathbb{Z}}_3$ について、

$$\sum _{i=1}^8{x}_i\equiv 0(\mathrm{mod}3)$$

が常に成り立つ。

証明 各基本操作がこの制約を保存することを確認すればよい。U と D はコーナーの向きを一切変えないので、ツイスト総和は不変だ。R について確認しよう。R のツイスト変化は位置 1 に $+1$、位置 4 に $+2$、位置 8 に $+1$、位置 5 に $+2$ だった。変化量の総和は

$$1+2+1+2=6\equiv 0(\mathrm{mod}3)$$

である。L, F, B についても同様に計算すると、いずれもツイスト変化量の総和は $0(\mathrm{mod}3)$ となる。

完成状態ではツイスト総和は 0 であり、各操作で変化量の総和が $0(\mathrm{mod}3)$ なので、どんな操作列を施しても $\sum x_i\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ が保たれる。

この制約により、8 個のコーナーのうち 7 個の向きを自由に選べば、残り 1 個の向きは自動的に決まる。したがって、コーナーの向きの自由度は $3^8$ から $3^7$ に減る。

第 2 の制約：エッジフリップの保存

12 個のエッジの向き $y_1,\dots ,y_{12}\in {\mathbb{Z}}_2$ について、

$$\sum _{i=1}^{12}{y}_i\equiv 0(\mathrm{mod}2)$$

が常に成り立つ。

証明 良い操作 $\{U,D,R,L\}$ はエッジの向きを一切変えないため、フリップ総和は不変だ。悪い操作 F について確認する。F のフリップ変化は位置 1, 5, 9, 6 にそれぞれ $+1$ であり、変化量の総和は

$$1+1+1+1=4\equiv 0(\mathrm{mod}2)$$

B も同様に 4 つのエッジを同時にフリップするから、総和の変化は $0(\mathrm{mod}2)$ だ。

この制約により、エッジの向きの自由度は $2^{12}$ から $2^{11}$ に減る。

第 3 の制約：置換パリティの連動

コーナー置換 ${\sigma }_c$ の符号（偶奇）とエッジ置換 ${\sigma }_e$ の符号は常に一致する。すなわち、

$$\text{sgn}({\sigma }_c)=\text{sgn}({\sigma }_e)$$

が成り立つ。

証明 各基本操作は、コーナーとエッジの両方で 4-cycle を引き起こす。4-cycle は 3 個の互換の積として書けるから奇置換である。したがって、任意の基本操作はコーナーとエッジの両方で符号を $-1$ にする。

完成状態では ${\sigma }_c={\sigma }_e=\text{id}$ であり、ともに偶置換だ。1 回の基本操作で両方の符号が同時に反転するから、何回操作を施しても $\text{sgn}({\sigma }_c)=\text{sgn}({\sigma }_e)$ が維持される。

この制約が意味するのは、コーナーだけを奇置換にしてエッジを偶置換のままにする（またはその逆）ことは不可能だということだ。たとえば、2 つのコーナーの位置だけを入れ替えて他をすべて元に戻すことはできない。

位数の導出

3 つの制約はそれぞれ独立に自由度を制限する。制約なしの場合から各制約の因子を割ると、

$$|G|=\frac{8!\times 12!\times 3^8\times 2^{12}}{3\times 2\times 2}=\frac{8!\times 12!\times 3^8\times 2^{12}}{12}$$

これを計算する。

$$8!=40,320$$

$$12!=479,001,600$$

$$3^8=6,561,3^7=2,187$$

$$2^{12}=4,096,2^{11}=2,048$$

したがって、

$$|G|=8!\times 12!\times 3^7\times 2^{10}$$

と書いてもよい。ここで $3^7=3^8/3$ がツイスト制約、$2^{10}=2^{12}/(2\times 2)$ がフリップ制約とパリティ制約に対応する。数値を計算すると、

$$|G|=40,320\times 479,001,600\times 2,187\times 1,024$$

段階的に計算を進める。

$$40,320\times 479,001,600=19,313,344,512,000$$

$$2,187\times 1,024=2,239,488$$

$$19,313,344,512,000\times 2,239,488=43,252,003,274,489,856,000$$

# Python で正確に計算
import math

corners_perm = math.factorial(8)    # 40320
edges_perm = math.factorial(12)     # 479001600
corner_orient = 3**7                # 2187
edge_orient = 2**10                 # 1024

order = corners_perm * edges_perm * corner_orient * edge_orient
print(f"|G| = {order:,}")
# |G| = 43,252,003,274,489,856,000

よって、ルービックキューブ群の位数は

$$|G|=43,252,003,274,489,856,000\approx 4.33\times 10^{19}$$

日本語では約 4325 京 2003 兆 2744 億 8985 万 6000 だ。

位数の素因数分解

この巨大な数の構造をさらに理解するために、素因数分解を行おう。

$$|G|=2^{27}\times 3^{14}\times 5^3\times 7^2\times 11$$

# 素因数分解の確認
from sympy import factorint

order = 43252003274489856000
factors = factorint(order)
print(factors)
# {2: 27, 3: 14, 5: 3, 7: 2, 11: 1}

# 検算
result = 2**27 * 3**14 * 5**3 * 7**2 * 11
print(f"検算: {result == order}")  # True

この素因数分解の各成分がどこから来るかを追跡できる。

$8!$ の素因数分解：$2^7\times 3^2\times 5\times 7$

$12!$ の素因数分解：$2^{10}\times 3^5\times 5^2\times 7\times 11$

$3^7$ の寄与：$3^7$

$2^{10}$ の寄与：$2^{10}$

合計すると $2^{7+10+10}\times 3^{2+5+7}\times 5^{1+2}\times 7^{1+1}\times 11^1=2^{27}\times 3^{14}\times 5^3\times 7^2\times 11$ となり、一致する。

制約の独立性の証明

3 つの制約が本当に独立であること、すなわち他の 2 つから第 3 の制約が導かれないことを示す。

ツイスト制約の独立性：1 個のコーナーだけを 120° 回転させた状態（ツイスト総和 $\equiv 1(\mathrm{mod}3)$）を考える。この状態はフリップ制約もパリティ制約も満たすが、ツイスト制約だけを破る。よってツイスト制約は他の 2 つから導かれない。

フリップ制約の独立性：1 個のエッジだけを反転させた状態（フリップ総和 $\equiv 1(\mathrm{mod}2)$）を考える。ツイスト制約とパリティ制約は満たすが、フリップ制約だけを破る。

パリティ制約の独立性：2 つのコーナーだけを入れ替えた状態を考える。コーナー置換は奇だがエッジ置換は偶であり、パリティ制約だけを破る。ツイスト制約とフリップ制約は満たされている。

以上により、3 つの制約は互いに独立であり、それぞれが全状態数を $\frac{1}{3}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$ に削減する。

群構造の分解

位数の導出過程から、ルービックキューブ群 $G$ の構造が見えてくる。$G$ は次のような半直積として記述できる。

$$G\cong \left(({\mathbb{Z}}_3{)}^7⋊S_8\right){\times }_{\text{sgn}}\left(({\mathbb{Z}}_2{)}^{11}⋊S_{12}\right)$$

ここで ${\times }_{\text{sgn}}$ はパリティ制約を反映した制限付き直積を意味する。より正確には、

$$G\hookrightarrow \left({\mathbb{Z}}_3\wr S_8\right)\times \left({\mathbb{Z}}_2\wr S_{12}\right)$$

の部分群として実現される。$\wr$ は wreath product（花冠積）であり、${\mathbb{Z}}_n\wr S_k=({\mathbb{Z}}_n{)}^k⋊S_k$ と定義される。ここで $S_k$ は $({\mathbb{Z}}_n{)}^k$ の成分を置換する作用を持つ。

そしてこの 2 つの部分は、パリティ制約 $\text{sgn}({\sigma }_c)=\text{sgn}({\sigma }_e)$ により結合されている。コーナーとエッジは物理的には独立に見えるが、代数的にはパリティを通じて不可分に結びついているのだ。

スーパーキューブとの比較

ルービックキューブの変種として、センターの向きも区別する「スーパーキューブ」がある。標準のキューブではセンターは固定とみなすが、実際にはセンターも回転しうる。この場合の状態数は

$$|G_{\text{super}}|=|G|\times \frac{4^6}{4}=|G|\times 4^5\times \frac{4}{4}$$

ではなく、やや複雑な計算が必要になる。センターの向きは $({\mathbb{Z}}_4{)}^6$ の値をとるが、パリティ制約により $({\mathbb{Z}}_4{)}^5$ に制限される。結果として

$$|G_{\text{super}}|=|G|\times 2048\approx 8.86\times 10^{22}$$

となる。標準キューブの約 2048 倍の状態数だ。

まとめ

ルービックキューブ群の位数 $43,252,003,274,489,856,000$ は、コーナーとエッジの位置・向きの組み合わせから、3 つの独立なパリティ制約を除くことで正確に導かれる。この導出過程そのものが群の半直積構造を明らかにしており、ルービックキューブが単なるパズルにとどまらず、豊かな代数構造を持つ数学的対象であることを示している。