内部に山も谷も作れない - ラプラス方程式と調和関数の平均値の性質

調和関数の値は、その点を中心とする円周上の平均に等しくなります。

$u (P) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} u (P + R e^{i θ}) d θ$

半径 $R$ は何でも構いません。円が領域に収まってさえいれば、どの大きさでも同じ値になる。

最大値原理も、解の一意性も、リウヴィルの定理も、この 1 行から出てきます^[1]。

どこに現れるか

電荷のない領域では、電場が $\nabla \cdot E = 0$ と $\nabla \times E = 0$ を満たします^[4]。

回転が $0$ なので $E = - \nablaΦ$ と書けて、これを発散の式に入れる。

$\nabla^{2} Φ = 0$

熱源のない場所の定常温度も、渦のない非圧縮流体の速度ポテンシャルも同じ形です^[2]。時間が消えて、空間の釣り合いだけが残った状態と言えます。

ラプラシアンはまわりとの差を測る

1 次元で 2 階微分を差分にします。

$\frac{u ( x + h ) - 2 u ( x ) + u ( x - h )}{h ^{2}} ⟶ u^{''} (x)$

分子を書き直すと $2 [\frac{u ( x + h ) + u ( x - h )}{2} - u (x)]$ 。両隣の平均と自分の差です。

2 次元では 4 方向を使います。

$\nabla^{2} u \approx \frac{u _{東} + u _{西} + u _{南} + u _{北} - 4 u _{中}}{h ^{2}}$

$\nabla^{2} u = 0$ とは、中心の値が 4 近傍の平均に等しいという条件になる。連続の世界での平均値の性質は、この離散版の極限です。

平均値の性質の証明

半径 $r$ の円周上の平均を $ϕ (r)$ と書きます。

$ϕ (r) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} u (P + r ω_{θ}) d θ$

$ω_{θ}$ は角度 $θ$ の単位ベクトル。 $r$ で微分すると、勾配の法線成分が出ます。

$ϕ^{'} (r) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \nabla u \cdot ω_{θ} d θ = \frac{1}{2 π r} \oint_{∣ y - P ∣ = r} \frac{\partial u}{\partial n} d s$

弧長は $d s = r d θ$ なので、 $\frac{1}{r}$ が出ました。ここで発散定理を使います。

$\oint \frac{\partial u}{\partial n} d s = \iint_{∣ y - P ∣ < r} \nabla^{2} u d A = 0$

$ϕ^{'} (r) = 0$ なので、 $ϕ$ は $r$ によりません。 $r \to 0$ の極限は $u (P)$ ですから、すべての $r$ で $ϕ (r) = u (P)$ になります^[1]。

証明に使ったのは発散定理だけ。 $\nabla^{2} u = 0$ が「境界から出入りする流れの総量が $0$ 」を意味する、という読み替えが効いています。

最大値原理

領域の内部に最大値の点があったとします。その点を $P$ 、値を $M$ と置く。

平均値の性質から、 $P$ を囲むどの円周上でも平均が $M$ です。ところが円周上のすべての値は $M$ 以下。

平均が最大値に等しいのは、全部が $M$ のときだけ。したがって円周上でも $u \equiv M$ になります。

半径を変えても同じなので、 $P$ のまわりの円板全体で $u = M$ 。 $u$ が $M$ をとる点の集合は開集合です。

連続性からこの集合は閉集合でもあり、領域が連結なら全体に広がる。結局 $u$ は定数になります^[1]。

定数でない調和関数は、最大値も最小値も境界でしか達しません。

最大値原理は、山も谷も作れないという主張です。

どこかが盛り上がれば、その点の値は近傍の平均を超えてしまう。調和条件がそれを禁じる。

一意性

境界値が同じ 2 つの解を $u_{1}$ 、 $u_{2}$ とし、差を $w = u_{1} - u_{2}$ と置きます。

$w$ は調和で、境界では $0$ 。最大値原理から、内部の最大値は境界の最大値 $0$ を超えません。

$- w$ にも同じ議論を当てると $w \geq 0$ 。したがって $w \equiv 0$ で、解は 1 つに決まります。

ディリクレ問題の答えが境界値だけで決まることが、これで分かる。中身をどうこねても、境界が同じなら同じ関数です。

数値で解く

離散版の条件は「中心が 4 近傍の平均」でした。そのまま代入をくり返す方法が使えます。

境界の値を固定し、内部の各点を近傍の平均で置き換える。これを何度も回すと、値が落ち着きます。

内部に上辺より濃い点は現れません。平均をとる操作が、山を作ることを許さないからです。

例：円板の解

半径 $R$ の円板で、境界の値 $f (ϕ)$ が与えられたとします。極座標のラプラシアンを分離すると、角度側は $cos n θ$ と $sin n θ$ になる。

動径側の解は $r^{n}$ と $r^{- n}$ です^[3]。原点で発散しては困るので、 $r^{- n}$ と $ln r$ を捨てます。

$u (r, θ) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (\frac{r}{R})^{n} (a_{n} cos n θ + b_{n} sin n θ)$

$r = R$ で $f (θ)$ に一致させれば、 $a_{n}$ と $b_{n}$ は $f$ のフーリエ係数です^[2]。

ポアソン積分の公式

係数の積分表示を代入し、和と積分を入れかえます。 $ρ = \frac{r}{R}$ 、 $α = θ - ϕ$ と書く。

$u (r, θ) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} [1 + 2 n = 1 \sum \infty ρ^{n} cos n α] f (ϕ) d ϕ$

角括弧の中は、 $cos n α$ を複素指数に直せば公比 $ρ e^{\pm i α}$ の等比級数です。足すと閉じた形になります。

$1 + 2 n = 1 \sum \infty ρ^{n} cos n α = \frac{1 - ρ ^{2}}{1 - 2 ρ cos α + ρ ^{2}}$

もとの変数に戻すとポアソンの公式です^[2]。

$u (r, θ) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{R ^{2} - r ^{2}}{R ^{2} - 2 R r cos ( θ - ϕ ) + r ^{2}} f (ϕ) d ϕ$

$r = 0$ を入れると分数が $1$ になり、平均値の性質に戻ります。冒頭の 1 行は、この公式の中心での値でした。

中心では核が平らで、境界のすべての点が同じ重みで効きます。境界に近づくと真向かいの一点に重みが集中する。

ハルナックの不等式

ポアソン核の分母は $(R - r)^{2}$ から $(R + r)^{2}$ までしか動きません。核の値に上下の限界が付きます。

$\frac{R - r}{R + r} \leq \frac{R ^{2} - r ^{2}}{R ^{2} - 2 R r cos α + r ^{2}} \leq \frac{R + r}{R - r}$

境界値 $f$ が $0$ 以上なら、積分にそのまま引き継がれます^[1]。

$\frac{R - r}{R + r} u (0) \leq u (r, θ) \leq \frac{R + r}{R - r} u (0)$

正の調和関数は、中心の値の定数倍の範囲に閉じこめられる。どんなに暴れさせようとしても、内側では値がそろってしまいます。

リウヴィルの定理

平面全体で定義された調和関数が有界なら、それは定数です^[1]。

ハルナックの不等式で $R \to \infty$ とすると、両側の係数が $1$ に近づく。 $u (r, θ)$ と $u (0)$ が同じ値に挟まれます。

有界性を仮定すれば、下から押さえるために定数を足す操作ができる。負でない関数に直してから不等式を当てると、全域で $u = u (0)$ が出ます。

複素関数とのつながり

$f (z) = u + i v$ が正則なら、コーシー・リーマンの関係式が成り立ちます。

$u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$

1 つ目を $x$ 、2 つ目を $y$ で微分して足すと $u_{xx} + u_{y y} = v_{y x} - v_{x y} = 0$ 。実部は調和です。

$z^{n} = r^{n} e^{i n θ}$ の実部が $r^{n} cos n θ$ 。円板の解に出てきた $r^{n} cos n θ$ は、この形でした^[3]。

正則関数が何度でも微分できることから、調和関数も無限回微分できます。実際には解析的で、局所的にべき級数に展開できる^[1]。

境界での流れを指定する場合

値ではなく、境界から出る流れ $\frac{\partial u}{\partial n}$ を指定する問題もあります。ノイマン問題と呼ばれます。

こちらは何でも指定できるわけではありません。発散定理を領域全体に当ててみます。

$\oint_{\partial Ω} \frac{\partial u}{\partial n} d s = \iint_{Ω} \nabla^{2} u d A = 0$

境界から出る量の総和が $0$ でなければ、解が存在しない。定常状態なのだから、入った熱と出た熱が釣り合うのは当然の要求です。

条件が満たされていれば解はありますが、定数を足す自由が残ります。温度の原点が決まらない、という形の不定さです。

値を指定する問題

いつでも解があり、答えは 1 つに決まる

流れを指定する問題

総和が $0$ でないと解がない。あっても定数だけ動かせる

検算のしかた

答えが出たら、まず $\nabla^{2} u$ を実際に計算します。極座標なら $\frac{1}{r} (r u_{r})_{r} + \frac{1}{r ^{2}} u_{θ θ}$ に代入する。

次に境界で与えた値に戻るかを見ます。円板なら $r = R$ を入れて $f (θ)$ になるかどうか。

最後に中心の値を確かめます。境界値の平均と一致していなければ、どこかで係数を落としています。

円板の境界で温度が $f (θ) = 3 + 2 cos θ$ のとき、中心の温度はいくつになりますか。

__RESULT__

平均値の性質から、中心の値は境界値の平均です。 $cos θ$ の 1 周ぶんの積分は $0$ なので、残るのは定数項の $3$ だけになります。ポアソンの公式で $r = 0$ とした場合にあたります。

平均値の性質を 1 つ手にすれば、最大値原理も一意性も、ハルナックもリウヴィルも順に落ちてくる。ラプラス方程式はそういう構造をしています。

参考

Harmonic function. Encyclopedia of Mathematics.

Russell Herman. *Laplace's Equation in 2D*/06%3A_Problems_in_Higher_Dimensions/6.03%3A_Laplaces_Equation_in_2D). Introduction to Partial Differential Equations.

Harmonic Function. Wolfram MathWorld.

David Staelin. *Laplace's Equation and Separation of Variables*/04%3A_Static_and_Quasistatic_Fields/4.05%3A_Laplace%E2%80%99s_equation_and_separation_of_variables). Electromagnetics and Applications, MIT.

調和関数の値は、その点を中心とする円周上の平均に等しくなります。半径は円が領域に収まればいくつでもよい。証明は発散定理 1 本で、平均 $\phi(r)$ を微分すると $\iint\nabla^2u\,dA$ になって消えます。ここから最大値原理が出て、境界値が同じ 2 つの解の差は恒等的に $0$ になる。離散版は中心が 4 近傍の平均という条件で、そのまま代入をくり返す緩和法になります。円板ではフーリエ級数を等比級数として足し、ポアソン核 $(R^2-r^2)/(R^2-2Rr\cos\alpha+r^2)$ が現れる。分母が $(R\pm r)^2$ の間にしかないことからハルナックの不等式が出て、$R \to \infty$ でリウヴィルの定理になります。