内部に山も谷も作れない - ラプラス方程式と調和関数の平均値の性質

調和関数の値は、その点を中心とする円周上の平均に等しくなります。

$$u(P)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(P+R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })d\theta$$

半径 $R$ は何でも構いません。円が領域に収まってさえいれば、どの大きさでも同じ値になる。

最大値原理も、解の一意性も、リウヴィルの定理も、この 1 行から出てきます^[1]。

どこに現れるか

電荷のない領域では、電場が $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$ と $\nabla \times \mathbf{E}=0$ を満たします^[4]。

回転が $0$ なので $\mathbf{E}=-\nabla \Phi$ と書けて、これを発散の式に入れる。

$${\nabla }^2\Phi =0$$

熱源のない場所の定常温度も、渦のない非圧縮流体の速度ポテンシャルも同じ形です^[2]。時間が消えて、空間の釣り合いだけが残った状態と言えます。

ラプラシアンはまわりとの差を測る

1 次元で 2 階微分を差分にします。

$$\frac{u(x+h)-2u(x)+u(x-h)}{h^2}⟶u^{\prime \prime }(x)$$

分子を書き直すと $2\left[\frac{u(x+h)+u(x-h)}{2}-u(x)\right]$。両隣の平均と自分の差です。

2 次元では 4 方向を使います。

$${\nabla }^{2}u\approx \frac{u_{\text{東}}+u_{\text{西}}+u_{\text{南}}+u_{\text{北}}-4u_{\text{中}}}{h^2}$$

${\nabla }^{2}u=0$ とは、中心の値が 4 近傍の平均に等しいという条件になる。連続の世界での平均値の性質は、この離散版の極限です。

平均値の性質の証明

半径 $r$ の円周上の平均を $\varphi (r)$ と書きます。

$$\varphi (r)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(P+r{\mathbf{\omega }}_{\theta })d\theta$$

${\mathbf{\omega }}_{\theta }$ は角度 $\theta$ の単位ベクトル。$r$ で微分すると、勾配の法線成分が出ます。

$${\varphi }^{\prime }(r)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\nabla u\cdot {\mathbf{\omega }}_{\theta }d\theta =\frac{1}{2\pi r}{\oint }_{|y-P|=r}\frac{\partial u}{\partial n}ds$$

弧長は $ds=rd\theta$ なので、$\frac{1}{r}$ が出ました。ここで発散定理を使います。

$$\oint \frac{\partial u}{\partial n}ds={\iint }_{|y-P|<r}{\nabla }^{2}udA=0$$

${\varphi }^{\prime }(r)=0$ なので、$\varphi$ は $r$ によりません。$r\to 0$ の極限は $u(P)$ ですから、すべての $r$ で $\varphi (r)=u(P)$ になります^[1]。

証明に使ったのは発散定理だけ。${\nabla }^{2}u=0$ が「境界から出入りする流れの総量が $0$」を意味する、という読み替えが効いています。

最大値原理

領域の内部に最大値の点があったとします。その点を $P$、値を $M$ と置く。

平均値の性質から、$P$ を囲むどの円周上でも平均が $M$ です。ところが円周上のすべての値は $M$ 以下。

平均が最大値に等しいのは、全部が $M$ のときだけ。したがって円周上でも $u\equiv M$ になります。

半径を変えても同じなので、$P$ のまわりの円板全体で $u=M$。$u$ が $M$ をとる点の集合は開集合です。

連続性からこの集合は閉集合でもあり、領域が連結なら全体に広がる。結局 $u$ は定数になります^[1]。

定数でない調和関数は、最大値も最小値も境界でしか達しません。

一意性

境界値が同じ 2 つの解を $u_1$、$u_2$ とし、差を $w=u_1-u_2$ と置きます。

$w$ は調和で、境界では $0$。最大値原理から、内部の最大値は境界の最大値 $0$ を超えません。

$-w$ にも同じ議論を当てると $w\ge 0$。したがって $w\equiv 0$ で、解は 1 つに決まります。

ディリクレ問題の答えが境界値だけで決まることが、これで分かる。中身をどうこねても、境界が同じなら同じ関数です。

数値で解く

離散版の条件は「中心が 4 近傍の平均」でした。そのまま代入をくり返す方法が使えます。

境界の値を固定し、内部の各点を近傍の平均で置き換える。これを何度も回すと、値が落ち着きます。

内部に上辺より濃い点は現れません。平均をとる操作が、山を作ることを許さないからです。

例：円板の解

半径 $R$ の円板で、境界の値 $f(\varphi )$ が与えられたとします。極座標のラプラシアンを分離すると、角度側は $\cos n\theta$ と $\sin n\theta$ になる。

動径側の解は $r^n$ と $r^{-n}$ です^[3]。原点で発散しては困るので、$r^{-n}$ と $\ln r$ を捨てます。

$$u(r,\theta )=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{r}{R}\right)}^n(a_n\cos n\theta +b_n\sin n\theta )$$

$r=R$ で $f(\theta )$ に一致させれば、$a_n$ と $b_n$ は $f$ のフーリエ係数です^[2]。

ポアソン積分の公式

係数の積分表示を代入し、和と積分を入れかえます。$\rho =\frac{r}{R}$、$\alpha =\theta -\varphi$ と書く。

$$u(r,\theta )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\rho }^n\cos n\alpha \right]f(\varphi )d\varphi$$

角括弧の中は、$\cos n\alpha$ を複素指数に直せば公比 $\rho {\mathrm{e}}^{\pm \mathrm{i}\alpha }$ の等比級数です。足すと閉じた形になります。

$$1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\rho }^n\cos n\alpha =\frac{1-{\rho }^2}{1-2\rho \cos \alpha +{\rho }^2}$$

もとの変数に戻すとポアソンの公式です^[2]。

$$u(r,\theta )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos (\theta -\varphi )+r^2}f(\varphi )d\varphi$$

$r=0$ を入れると分数が $1$ になり、平均値の性質に戻ります。冒頭の 1 行は、この公式の中心での値でした。

中心では核が平らで、境界のすべての点が同じ重みで効きます。境界に近づくと真向かいの一点に重みが集中する。

ハルナックの不等式

ポアソン核の分母は $(R-r{)}^2$ から $(R+r{)}^2$ までしか動きません。核の値に上下の限界が付きます。

$$\frac{R-r}{R+r}\le \frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos \alpha +r^2}\le \frac{R+r}{R-r}$$

境界値 $f$ が $0$ 以上なら、積分にそのまま引き継がれます^[1]。

$$\frac{R-r}{R+r}u(0)\le u(r,\theta )\le \frac{R+r}{R-r}u(0)$$

正の調和関数は、中心の値の定数倍の範囲に閉じこめられる。どんなに暴れさせようとしても、内側では値がそろってしまいます。

リウヴィルの定理

平面全体で定義された調和関数が有界なら、それは定数です^[1]。

ハルナックの不等式で $R\to \infty$ とすると、両側の係数が $1$ に近づく。$u(r,\theta )$ と $u(0)$ が同じ値に挟まれます。

有界性を仮定すれば、下から押さえるために定数を足す操作ができる。負でない関数に直してから不等式を当てると、全域で $u=u(0)$ が出ます。

複素関数とのつながり

$f(z)=u+\mathrm{i}v$ が正則なら、コーシー・リーマンの関係式が成り立ちます。

$$u_x=v_y,u_y=-v_x$$

1 つ目を $x$、2 つ目を $y$ で微分して足すと $u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0$。実部は調和です。

$z^n=r^n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\theta }$ の実部が $r^n\cos n\theta$。円板の解に出てきた $r^n\cos n\theta$ は、この形でした^[3]。

正則関数が何度でも微分できることから、調和関数も無限回微分できます。実際には解析的で、局所的にべき級数に展開できる^[1]。

境界での流れを指定する場合

値ではなく、境界から出る流れ $\frac{\partial u}{\partial n}$ を指定する問題もあります。ノイマン問題と呼ばれます。

こちらは何でも指定できるわけではありません。発散定理を領域全体に当ててみます。

$${\oint }_{\partial \Omega }\frac{\partial u}{\partial n}ds={\iint }_{\Omega }{\nabla }^{2}udA=0$$

境界から出る量の総和が $0$ でなければ、解が存在しない。定常状態なのだから、入った熱と出た熱が釣り合うのは当然の要求です。

条件が満たされていれば解はありますが、定数を足す自由が残ります。温度の原点が決まらない、という形の不定さです。

検算のしかた

答えが出たら、まず ${\nabla }^{2}u$ を実際に計算します。極座標なら $\frac{1}{r}(r{u}_r{)}_r+\frac{1}{r^2}{u}_{\theta \theta }$ に代入する。

次に境界で与えた値に戻るかを見ます。円板なら $r=R$ を入れて $f(\theta )$ になるかどうか。

最後に中心の値を確かめます。境界値の平均と一致していなければ、どこかで係数を落としています。

平均値の性質を 1 つ手にすれば、最大値原理も一意性も、ハルナックもリウヴィルも順に落ちてくる。ラプラス方程式はそういう構造をしています。

参考