ラプラス方程式

ラプラス方程式は、定常状態や平衡状態を記述する楕円型偏微分方程式です。電磁気学の静電場、流体力学のポテンシャル流れ、定常熱分布など、時間変化のない現象に広く現れます。

ラプラス方程式の形

2次元では、

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0\text{または}{\nabla }^{2}u=0$$

3次元では、

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$$

${\nabla }^2$（ラプラシアン）は「曲がり具合の総和」を測る演算子と考えられます。

物理的な意味

ラプラス方程式 ${\nabla }^{2}u=0$ を満たす関数を調和関数といいます。

境界値問題

ラプラス方程式では、領域の境界での値を指定するディリクレ問題が基本です。

$${\nabla }^{2}u=0(\text{領域内}),u=f(\text{境界上})$$

たとえば、金属板の端を一定温度に保ったとき、内部の定常温度分布を求める問題です。

長方形領域での解法

$0\le x\le a$, $0\le y\le b$ の長方形で、3辺で $u=0$、残り1辺で $u=f(x)$ の場合、変数分離法を使います。

$u=X(x)Y(y)$ と置くと、

$$\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}=-\lambda$$

境界条件から固有値 ${\lambda }_n=(n\pi /a{)}^2$ が決まり、

$$u(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{B}_n\sin \frac{n\pi x}{a}\sinh \frac{n\pi (b-y)}{a}$$

の形の解が得られます。

円板上のラプラス方程式

極座標 $(r,\theta )$ では、

$$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}=0$$

半径 $R$ の円板で $u(R,\theta )=f(\theta )$ が与えられたとき、解はポアソン積分公式で表されます。

$$u(r,\theta )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos (\theta -\varphi )+r^2}f(\varphi )d\varphi$$

調和関数の性質

最大値原理は、ディリクレ問題の解の一意性を保証する重要な定理です。境界値が同じなら、内部の解も一意に決まります。

ラプラス方程式とその非同次版であるポアソン方程式 ${\nabla }^{2}u=f$ は、物理学と数学の両方で中心的な役割を果たす方程式です。