フーリエ級数と変数分離法

フーリエ級数は、周期関数を三角関数の無限和として表す手法です。偏微分方程式の変数分離法と組み合わせることで、熱方程式や波動方程式の初期境界値問題を解くことができます。

フーリエ級数の定義

周期 $2 L$ の関数 $f (x)$ は、

$f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos \frac{nπ x}{L} + b_{n} sin \frac{nπ x}{L})$

と展開できます。係数は、

$a_{n} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) cos \frac{nπ x}{L} d x, b_{n} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$

で計算します。

三角関数の系 ${1, cos \frac{nπ x}{L}, sin \frac{nπ x}{L}}$ は、内積

$⟨ f, g ⟩ = \int_{- L}^{L} f (x) g (x) d x$

に関して直交しています。これがフーリエ係数の公式の根拠です。

$[0, L]$ 上の関数に対しては、境界条件に応じて正弦級数または余弦級数を使います。

フーリエ正弦級数

$f (0) = f (L) = 0$ の境界条件に対応。 $f (x) = \sum b_{n} sin \frac{nπ x}{L}$ 。

フーリエ余弦級数

$f^{'} (0) = f^{'} (L) = 0$ （断熱条件）に対応。 $f (x) = \frac{a _{0}}{2} + \sum a_{n} cos \frac{nπ x}{L}$ 。

偏微分方程式を変数分離法で解く手順は以下の通りです。

$u (x, t) = X (x) T (t)$ と仮定し代入

$X$ と $T$ それぞれの常微分方程式に分離

境界条件から固有値・固有関数を決定

重ね合わせで一般解を構成

$u_{t} = k u_{xx}, u (0, t) = u (L, t) = 0, u (x, 0) = f (x)$

変数分離で $X_{n} = sin \frac{nπ x}{L}$ , $T_{n} = e^{- k (nπ / L)^{2} t}$ が得られます。

一般解は

$u (x, t) = n = 1 \sum \infty B_{n} e^{- k (nπ / L)^{2} t} sin \frac{nπ x}{L}$

初期条件 $u (x, 0) = f (x)$ より、

$B_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$

これは $f (x)$ のフーリエ正弦係数そのものです。

フーリエ級数の収束には注意が必要です。

各点収束

不連続点では、級数は左右の極限値の平均に収束します（ギブス現象）。

一様収束

$f$ が連続で区分的に滑らかなら、一様収束します。

フーリエ級数の考え方は、数値計算におけるスペクトル法の基礎になっています。解を基底関数（三角関数や多項式）で展開し、係数を数値的に求める手法で、高精度な計算が可能です。

フーリエ解析は、偏微分方程式だけでなく、信号処理、画像圧縮、量子力学など、現代科学のあらゆる分野で使われる基本ツールです。