10進法からn進法への変換

10 進法の数を $n$ 進法に変換するには、 $n$ で繰り返し割っていく方法を使います。商が 0 になるまで割り続け、出てきた余りを逆順に並べれば完成です。

変換の手順

10 進法の数を $n$ 進法に変換する手順は次のとおりです。

10 進法の数を $n$ で割り、商と余りを求める

商が 0 になるまで繰り返す

余りを下から順に並べる

$1 3_{(10)}$ を 2 進法に変換してみましょう。

$13 \div 2 = 6 余り 1$

$6 \div 2 = 3 余り 0$

$3 \div 2 = 1 余り 1$

$1 \div 2 = 0 余り 1$

余りを下から順に並べると $1101$ になります。よって $1 3_{(10)} = 110 1_{(2)}$ です。

検算

$110 1_{(2)} = 1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$ ✓

余りの読み方

最後に出た余りが最上位の桁、最初に出た余りが最下位の桁になります。

$6 9_{(10)}$ を 5 進法に変換します。

$69 \div 5 = 13 余り 4$

$13 \div 5 = 2 余り 3$

$2 \div 5 = 0 余り 2$

余りを下から順に並べると $234$ になります。よって $6 9_{(10)} = 23 4_{(5)}$ です。

$n$ 進法で表された数 $a_{k} a_{k - 1} \dots a_{1} a_{0}$ は

$a_{k} \times n^{k} + a_{k - 1} \times n^{k - 1} + \dots + a_{1} \times n + a_{0}$

を意味します。この数を $n$ で割ると、余りは $a_{0}$ （最下位の桁）になります。商は

$a_{k} \times n^{k - 1} + \dots + a_{1}$

となり、これをさらに $n$ で割れば次の桁 $a_{1}$ が余りとして現れます。この操作を繰り返すことで、各桁の数字が順に取り出せるのです。

小数を含む場合は、整数部分と小数部分を分けて変換します。小数部分は $n$ をかけて整数部分を取り出す操作を繰り返します。

$0.62 5_{(10)}$ を 2 進法に変換します。

$0.625 \times 2 = 1.25 \to 1$

$0.25 \times 2 = 0.5 \to 0$

$0.5 \times 2 = 1.0 \to 1$

上から順に並べて $0.62 5_{(10)} = 0.10 1_{(2)}$ です。

整数部分

$n$ で割って余りを下から並べる

小数部分

$n$ をかけて整数部分を上から並べる

この違いに注意してください。小数部分は有限で終わらない場合もあり、その場合は循環小数になります。