Ext関手の定義と計算

Ext 関手は Hom 関手の導来関手であり、加群の拡大を分類する道具である。射影次元や深さの計算、さらには双対性理論において中心的な役割を果たす。

定義

$R$ を可換環、 $M$ , $N$ を $R$ -加群とする。 $M$ の射影分解

$\dots \to P_{2} \to P_{1} \to P_{0} \to M \to 0$

に $Hom_{R} (-, N)$ を適用して

$0 \to Hom (P_{0}, N) \to Hom (P_{1}, N) \to Hom (P_{2}, N) \to \dots$

というコチェイン複体を作る。この複体の $n$ 次コホモロジーが $Ext_{R}^{n} (M, N)$ である。

Ext⁰

$Ext_{R}^{0} (M, N) ≅ Hom_{R} (M, N)$ 。Hom そのもの。

Ext¹

$M$ による $N$ の拡大を分類する。短完全列の同値類に対応。

$Ext_{R}^{1} (M, N)$ は、 $N$ を部分加群、 $M$ を商加群とするような拡大

$0 \to N \to E \to M \to 0$

の同値類の集合と自然に対応する。拡大が分裂する（ $E ≅ M \oplus N$ ）ことと、対応する Ext の元が $0$ であることは同値だ。

分裂拡大

$E ≅ M \oplus N$ 。Ext¹ の元としては $0$ 。

非分裂拡大

直和でない真の拡大。Ext¹ の非ゼロ元に対応。

短完全列 $0 \to L \to M \to N \to 0$ から、Ext についての長完全列

$0 \to Hom (N, X) \to Hom (M, X) \to Hom (L, X) \to Ext^{1} (N, X) \to Ext^{1} (M, X) \to \dots$

が得られる。これは第一変数についての列であり、第二変数についても同様の長完全列が存在する。

$M$ の射影次元 $pd (M)$ は、 $M$ の射影分解の最小の長さである。これは次で特徴づけられる。

$pd (M) = sup {n : Ext_{R}^{n} (M, N) \neq = 0 for some N}$

$M$ が射影加群であることと $pd (M) = 0$ は同値であり、 $Ext_{R}^{1} (M, N) = 0$ （すべての $N$ ）と同値でもある。

$R = Z$ 、 $M = Z / n Z$ の場合を考える。射影分解 $0 \to Z n Z \to M \to 0$ に $Hom (-, Z)$ を適用すると

$0 \to Hom (Z, Z) n^{*} Hom (Z, Z) \to 0$

となり、 $n^{*}$ は $n$ 倍写像である。したがって

$Ext_{Z}^{1} (Z / n Z, Z) ≅ Z / n Z$

が得られる。これは「 $Z$ による $Z / n Z$ の拡大」を分類している。

Ext は $N$ の入射分解を用いても計算できる。入射分解

$0 \to N \to I^{0} \to I^{1} \to \dots$

に $Hom_{R} (M, -)$ を適用したコホモロジーも $Ext_{R}^{n} (M, N)$ に一致する。射影分解と入射分解のどちらを使うかは状況に応じて選べる。