Ext関手の定義と計算

Ext 関手は Hom 関手の導来関手であり、加群の拡大を分類する道具である。射影次元や深さの計算、さらには双対性理論において中心的な役割を果たす。

定義

$R$ を可換環、$M$, $N$ を $R$-加群とする。$M$ の射影分解

$$\cdots \to P_2\to P_1\to P_0\to M\to 0$$

に ${\mathrm{Hom}}_R(-,N)$ を適用して

$$0\to \mathrm{Hom}(P_0,N)\to \mathrm{Hom}(P_1,N)\to \mathrm{Hom}(P_2,N)\to \cdots$$

というコチェイン複体を作る。この複体の $n$ 次コホモロジーが ${\mathrm{Ext}}_R^n(M,N)$ である。

拡大の分類

${\mathrm{Ext}}_R^1(M,N)$ は、$N$ を部分加群、$M$ を商加群とするような拡大

$$0\to N\to E\to M\to 0$$

の同値類の集合と自然に対応する。拡大が分裂する（$E\cong M\oplus N$）ことと、対応する Ext の元が $0$ であることは同値だ。

長完全列

短完全列 $0\to L\to M\to N\to 0$ から、Ext についての長完全列

$$0\to \mathrm{Hom}(N,X)\to \mathrm{Hom}(M,X)\to \mathrm{Hom}(L,X)\to {\mathrm{Ext}}^1(N,X)\to {\mathrm{Ext}}^1(M,X)\to \cdots$$

が得られる。これは第一変数についての列であり、第二変数についても同様の長完全列が存在する。

射影次元と Ext

$M$ の射影次元 $\mathrm{pd}(M)$ は、$M$ の射影分解の最小の長さである。これは次で特徴づけられる。

$$\mathrm{pd}(M)=\sup \{n:{\mathrm{Ext}}_R^n(M,N)\ne 0\text{ for some }N\}$$

$M$ が射影加群であることと $\mathrm{pd}(M)=0$ は同値であり、${\mathrm{Ext}}_R^1(M,N)=0$（すべての $N$）と同値でもある。

計算例

$R=\mathbb{Z}$、$M=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の場合を考える。射影分解 $0\to \mathbb{Z}\stackrel{n}{\to }\mathbb{Z}\to M\to 0$ に $\mathrm{Hom}(-,\mathbb{Z})$ を適用すると

$$0\to \mathrm{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})\stackrel{n^{\ast }}{\to }\mathrm{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})\to 0$$

となり、$n^{\ast }$ は $n$ 倍写像である。したがって

$${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$

が得られる。これは「$\mathbb{Z}$ による $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の拡大」を分類している。

入射分解による計算

Ext は $N$ の入射分解を用いても計算できる。入射分解

$$0\to N\to I^0\to I^1\to \cdots$$

に ${\mathrm{Hom}}_R(M,-)$ を適用したコホモロジーも ${\mathrm{Ext}}_R^n(M,N)$ に一致する。射影分解と入射分解のどちらを使うかは状況に応じて選べる。