Tor関手の定義と計算

Tor 関手はテンソル積の導来関手であり、加群の平坦性を測る道具である。ホモロジー代数における基本的な関手の一つで、環と加群の構造を深く理解するために不可欠だ。

定義

$R$ を可換環、$M$, $N$ を $R$-加群とする。$M$ の射影分解

$$\cdots \to P_2\to P_1\to P_0\to M\to 0$$

をとり、$N$ とテンソルをとって

$$\cdots \to P_2{\otimes }_{R}N\to P_1{\otimes }_{R}N\to P_0{\otimes }_{R}N\to 0$$

というチェイン複体を作る。この複体の $n$ 次ホモロジーが ${\mathrm{Tor}}_n^R(M,N)$ である。

基本性質

Tor 関手は両変数について関手的であり、次の性質をもつ。

短完全列 $0\to L\to M\to N\to 0$ から長完全列

$$\cdots \to {\mathrm{Tor}}_2(N,X)\to {\mathrm{Tor}}_1(L,X)\to {\mathrm{Tor}}_1(M,X)\to {\mathrm{Tor}}_1(N,X)\to L\otimes X\to M\otimes X\to N\otimes X\to 0$$

が得られる。これは第一変数についての長完全列だが、第二変数についても同様の列が存在する。

平坦性との関係

$N$ が平坦 $R$-加群であることと、任意の $M$ に対し ${\mathrm{Tor}}_n^R(M,N)=0$（$n\ge 1$）が成り立つことは同値である。

特に、${\mathrm{Tor}}_1^R(M,N)=0$ がすべての $M$ で成り立てば、$N$ は平坦である。Tor₁ だけで平坦性が判定できる。

計算例

$R=\mathbb{Z}$、$M=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$、$N=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の場合を考える。

$M$ の射影分解は $0\to \mathbb{Z}\stackrel{m}{\to }\mathbb{Z}\to M\to 0$ である。$N$ とテンソルをとると

$$0\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\stackrel{\bar{m}}{\to }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to 0$$

となる。$\bar{m}$ の核は $(m,n)/n\cdot \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/\gcd (m,n)\mathbb{Z}$ なので

$${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/\gcd (m,n)\mathbb{Z}$$

が得られる。$\gcd (m,n)=1$ のとき Tor₁ は消え、テンソル積は完全関手として振る舞う。

局所化と Tor

$S$ を $R$ の積閉集合とする。局所化は平坦なので、${\mathrm{Tor}}_n^R(M,N{)}_S\cong {\mathrm{Tor}}_n^{R_S}(M_S,N_S)$ が成り立つ。Tor の計算は局所的に行える。

また、$R$ がネーター環で $M$, $N$ が有限生成ならば、${\mathrm{Tor}}_n^R(M,N)$ も有限生成である。これは導来関手が「有限性」を保つことを示している。