Tor関手の定義と計算

Tor 関手はテンソル積の導来関手であり、加群の平坦性を測る道具である。ホモロジー代数における基本的な関手の一つで、環と加群の構造を深く理解するために不可欠だ。

定義

$R$ を可換環、 $M$ , $N$ を $R$ -加群とする。 $M$ の射影分解

$\dots \to P_{2} \to P_{1} \to P_{0} \to M \to 0$

をとり、 $N$ とテンソルをとって

$\dots \to P_{2} \otimes_{R} N \to P_{1} \otimes_{R} N \to P_{0} \otimes_{R} N \to 0$

というチェイン複体を作る。この複体の $n$ 次ホモロジーが $Tor_{n}^{R} (M, N)$ である。

Tor₀

$Tor_{0}^{R} (M, N) ≅ M \otimes_{R} N$ 。テンソル積そのもの。

Tor₁ 以上

テンソル積の「欠陥」を測る。平坦性との関係が深い。

Tor 関手は両変数について関手的であり、次の性質をもつ。

短完全列 $0 \to L \to M \to N \to 0$ から長完全列

$\dots \to Tor_{2} (N, X) \to Tor_{1} (L, X) \to Tor_{1} (M, X) \to Tor_{1} (N, X) \to L \otimes X \to M \otimes X \to N \otimes X \to 0$

が得られる。これは第一変数についての長完全列だが、第二変数についても同様の列が存在する。

第一変数の分解

$M$ の射影分解を使って計算

第二変数の分解

$N$ の射影分解を使って計算（結果は同じ）

$N$ が平坦 $R$ -加群であることと、任意の $M$ に対し $Tor_{n}^{R} (M, N) = 0$ （ $n \geq 1$ ）が成り立つことは同値である。

特に、 $Tor_{1}^{R} (M, N) = 0$ がすべての $M$ で成り立てば、 $N$ は平坦である。Tor₁ だけで平坦性が判定できる。

$R = Z$ 、 $M = Z / m Z$ 、 $N = Z / n Z$ の場合を考える。

$M$ の射影分解は $0 \to Z m Z \to M \to 0$ である。 $N$ とテンソルをとると

$0 \to Z / n Z \overset{m}{ˉ} Z / n Z \to 0$

となる。 $\overset{m}{ˉ}$ の核は $(m, n) / n \cdot Z / n Z ≅ Z / g cd (m, n) Z$ なので

$Tor_{1}^{Z} (Z / m Z, Z / n Z) ≅ Z / g cd (m, n) Z$

が得られる。 $g cd (m, n) = 1$ のとき Tor₁ は消え、テンソル積は完全関手として振る舞う。

$S$ を $R$ の積閉集合とする。局所化は平坦なので、 $Tor_{n}^{R} (M, N)_{S} ≅ Tor_{n}^{R_{S}} (M_{S}, N_{S})$ が成り立つ。Tor の計算は局所的に行える。

また、 $R$ がネーター環で $M$ , $N$ が有限生成ならば、 $Tor_{n}^{R} (M, N)$ も有限生成である。これは導来関手が「有限性」を保つことを示している。