導来関手の基礎

導来関手はホモロジー代数における中心概念であり、Tor や Ext はその具体例である。射影分解や入射分解を通じて定義され、圏論的な枠組みで統一的に扱われる。

導来関手の動機

加法関手 $F$ が完全でないとき、短完全列 $0 \to A \to B \to C \to 0$ に $F$ を適用しても完全列が保たれない。導来関手は、この「完全性の欠如」を系統的に測定する道具である。

例えば $\otimes_{R} N$ は一般に右完全だが左完全ではない。左導来関手 $Tor_{n} (-, N)$ がこの欠陥を捉える。 $Hom_{R} (M, -)$ は左完全だが右完全ではなく、右導来関手 $Ext^{n} (M, -)$ が対応する。

左導来関手

射影分解を使って構成。右完全関手に適用。

右導来関手

入射分解を使って構成。左完全関手に適用。

$F$ を右完全加法関手、 $M$ を加群とする。 $M$ の射影分解

$\dots \to P_{2} \to P_{1} \to P_{0} \to M \to 0$

に $F$ を適用してチェイン複体

$\dots \to F (P_{2}) \to F (P_{1}) \to F (P_{0}) \to 0$

を得る。この複体の $n$ 次ホモロジーが $F$ の $n$ 次左導来関手 $L_{n} F (M)$ である。

L₀F

$L_{0} F (M) ≅ F (M)$ 。分解の取り方によらない。

LₙF（n ≥ 1）

$F$ が完全でないことによる「ずれ」を測る。

$G$ を左完全加法関手、 $N$ を加群とする。 $N$ の入射分解

$0 \to N \to I^{0} \to I^{1} \to \dots$

に $G$ を適用してコチェイン複体を作り、そのコホモロジーが $G$ の右導来関手 $R^{n} G (N)$ である。

Ext は $Hom (M, -)$ の右導来関手として、または $Hom (-, N)$ の右導来関手として理解できる。

導来関手が分解の取り方によらないことは、ホモロジー代数の基本定理による。異なる射影分解から得られる複体はチェインホモトピー同値であり、したがってホモロジーは一致する。

この不変性により、導来関手は加群そのものから決まる対象となる。計算には具体的な分解を選ぶが、結果は選び方に依存しない。

導来関手の最も重要な性質は、短完全列から長完全列が誘導されることだ。 $0 \to A \to B \to C \to 0$ が完全なら

$\dots \to L_{2} F (C) \to L_{1} F (A) \to L_{1} F (B) \to L_{1} F (C) \to F (A) \to F (B) \to F (C) \to 0$

という長完全列が存在する。この列を追うことで、導来関手の値を計算したり、他の不変量と関連づけたりできる。

導来関手を定義するには、圏が「十分多くの射影対象」または「十分多くの入射対象」をもつ必要がある。 $R$ -加群の圏では両方が成り立ち、自由加群は射影的、除法加群は入射的である。

一般のアーベル圏では入射対象は存在するが、射影対象は存在しないことがある。層のコホモロジーなどではこの点が重要になる。