完全性のずれを測る道具、導来関手と Tor・Ext のはじまり

短完全列 $0 \to A \to B \to C \to 0$ に関手を当てると、完全性がどこかで壊れます。壊れた先を測る道具が導来関手です^[1]。

$\otimes_{R} N$ は右完全で、左端がつぶれる。 $Hom_{R} (M, -)$ は左完全で、右端がつぶれる。つぶれ方に番号を付けて並べたものが $Tor$ と $Ext$ になります。

どこが壊れるか

$R = Z$ 、 $N = Z /2 Z$ とし、 $0 \to Z 2 Z \to Z /2 Z \to 0$ に $\otimes N$ を当てます。

$Z /2 2 Z /2 \to Z /2 \to 0$

真ん中の写像は $2$ 倍なので零写像です。左端の単射性が消えました。核が $Z /2$ だけ残っている。

この残りかすが $Tor_{1}^{Z} (Z /2, Z /2) = Z /2$ です。捨てるのではなく、次の項として拾い上げる。

右完全な関手

$\otimes_{R} N$ の類。右端は保たれ、左端が壊れる。左導来関手で補う

左完全な関手

$Hom_{R} (M, -)$ の類。左端は保たれ、右端が壊れる。右導来関手で補う

補う向きが逆になります。使う分解も、射影分解と入射分解で分かれる。

射影分解に当てる

$F$ を右完全な加法関手、 $A$ を対象とします。 $A$ の射影分解をとります^[1]。

$\dots \to P_{2} \to P_{1} \to P_{0} \to A \to 0$

$A$ の部分を落とし、残りに $F$ を当てて複体を作ります。この複体の $i$ 次ホモロジーが $L_{i} F (A)$ です。

$A$ そのものを消してから当てる、という手順が要点です。 $A$ を残したままだと、ただ $F (A)$ が出るだけで新しい情報が出ません。

分解の選び方によらない

射影分解は一意ではありません。それでも $L_{i} F (A)$ は同じものになります^[1]。

2 つの分解 $P_{∙}$ と $Q_{∙}$ をとると、恒等写像が複体の射に延びます。逆向きにも延びる。

2 つの合成は恒等写像とチェインホモトピックです。ホモトピックな射は同じホモロジーを誘導するので、両者は同型になります^[1]。

計算のときは具体的な分解を選びます。結果はその選択に依存しない。

分解の非一意性が問題にならないのは、異なる分解どうしがチェインホモトピー同値になるためです。

ホモロジーはホモトピー同値で変わりません。この一点で全体が支えられています。

0 次はもとの関手に戻る

$F$ が右完全なので、 $F (P_{1}) \to F (P_{0}) \to F (A) \to 0$ が完全です。だから $L_{0} F (A) ≅ F (A)$ になります^[1]。

$P$ が射影対象なら、 $i \geq 1$ で $L_{i} F (P) = 0$ です。 $P$ 自身を長さ $0$ の分解にとればよい。

高次の項が消えることを非輪状といいます。分解に使う対象は、この意味で「見えない」ものであってほしい。

L_{0} F ≅ F

なので、

0

次はもとの関手そのもの。

射影対象では

i \geq 1

の項がすべて消える。

F

が完全なら、どの対象でも

i \geq 1

の項が消える。

高次の項が残ることが、完全でないことの証拠になる。

長完全列が出る

いちばん効く性質がこれです。短完全列から、導来関手をつないだ長完全列が生まれます^[1]。

まず馬蹄形補題を使い、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ の射影分解を各次数で分裂完全になるようにそろえます。

$F$ を当てると、分裂しているので各次数で完全のまま。複体の短完全列ができるので、ホモロジーの長完全列が出ます^[1]。

$\dots \to L_{1} F (B) \to L_{1} F (C) δ F (A) \to F (B) \to F (C) \to 0$

$δ$ を接続準同型といいます。次数を 1 つ下げてつなぐ写像で、これがあるおかげで列が切れません。

$δ$ 関手としての性質

長完全列を持つ関手の族を $δ$ 関手と呼びます。導来関手はその例です^[4]。

さらに強いことが言えます。導来関手は普遍的な $δ$ 関手になる^[4]。同じ $0$ 次を持つ $δ$ 関手があれば、そこへ一意な射が出ます。

だから導来関手は「 $F$ を延長する最良の方法」として特徴づけられます。分解を使って作ったものが、圏論の言葉で一意に決まる。

入射分解と右導来関手

$G$ を左完全な加法関手とします。今度は入射分解をとります。

$0 \to N \to I^{0} \to I^{1} \to \dots$

$N$ を落として $G$ を当て、コホモロジーをとると $R^{i} G (N)$ です。 $R^{0} G ≅ G$ になります^[4]。

$Hom_{R} (M, -)$ に当てると $Ext_{R}^{i} (M, N)$ が出ます。 $Hom_{R} (-, N)$ の右導来関手として計算しても同じもの。

2 つの計算が一致することを、balanced であるといいます^[3]。 $Tor$ でも同じで、どちらの変数を分解しても結果は変わりません。

例： $Tor_{1} (Z / m, Z / n)$

$Z / m$ の射影分解は短くて済みます。

$0 \to Z m Z \to Z / m \to 0$

$Z$ は自由なので、これで分解が終わります。長さが $1$ なので $i \geq 2$ の項は消える。

$\otimes Z / n$ を当てると $Z / n m Z / n$ です。 $Tor_{1}$ はこの写像の核になります。

$m x \equiv 0 (mod n)$ を解くと、解は $g cd (m, n)$ 個。したがって次が出ます^[2]。

$Tor_{1}^{Z} (Z / m, Z / n) ≅ Z / g cd (m, n)$

$m$ と $n$ が互いに素なら $0$ です。ねじれが噛み合わないと、 $Tor$ は何も検出しません。

例： $Ext^{1} (Z / m, Z)$

同じ分解に $Hom (-, Z)$ を当てます。 $Hom (Z, Z) = Z$ なので、 $Z m Z$ という複体になる。

$Ext^{1}$ はその余核です。

$Ext_{Z}^{1} (Z / m, Z) ≅ Z / m$

この群は、 $Z$ を $Z / m$ で延長する方法の全体と一致します^[3]。 $0$ に対応するのが直和で、他の元がねじれた延長。

$Ext$ という名前が拡大から来ていることが、この対応に表れています。

射影対象が足りない圏

導来関手を作るには、圏が十分多くの射影対象か入射対象を持つ必要があります。

$R$ -加群の圏では両方そろいます。自由加群が射影的で、可除加群が入射的です。

ところが層の圏では射影対象が足りません。だから層コホモロジーは入射分解の側だけで作ります^[4]。

代わりに、脆弱層のような非輪状な対象を使って計算します。分解に使えるのは射影対象や入射対象だけとは限らない、という点が効いてきます。

$Tor_{1}^{Z} (Z /4, Z /6)$ はどれですか。

$Z /24$
$Z /2$
$0$

__RESULT__

$Z /4$ の分解 $0 \to Z 4 Z \to Z /4 \to 0$ に $\otimes Z /6$ を当てると、 $4$ 倍写像 $Z /6 \to Z /6$ の核が答えです。 $g cd (4, 6) = 2$ なので $Z /2$ になります。

つまずきやすいところ

右完全な関手に入射分解を当てる。向きが合わず、意味のあるものが出ません。

分解のときに

A

を残したまま関手を当てる。

0

次しか出てこなくなります。

L_{0} F

を

0

だと思う。

0

次はもとの関手そのものです。

Tor

の 2 つの変数で結果が変わると考える。どちらを分解しても一致します。

層の圏で射影分解を探す。射影対象が足りないので入射側を使います。

完全でない関手を捨てずに、ずれを次の項として並べる。 $Tor$ も $Ext$ も層コホモロジーも、同じ作り方から出てきます。

参考文献

Romyar Sharifi. *Homological Algebra*, §3.3. University of California, Los Angeles.

Clara Löh. *Kommutative Algebra*, §5.3. Universität Regensburg.

J. P. May. *Notes on Tor and Ext*. University of Chicago.

Right derived functors and injective resolutions, §13.20. The Stacks Project.

短完全列に $\otimes N$ を当てると左端が壊れます。壊れた残りを捨てずに次の項として拾うのが導来関手です。射影分解から $A$ を落として関手を当て、ホモロジーをとる。分解の選び方によらないのはチェインホモトピー同値のため。馬蹄形補題から長完全列が出て、普遍的な $\delta$ 関手として特徴づけられます。$\operatorname{Tor}_1(\mathbb{Z}/m, \mathbb{Z}/n) = \mathbb{Z}/\gcd(m, n)$ の計算まで追います。