I-進位相と完備化

$I$ -進位相と完備化は、局所的な性質を詳しく調べるための道具である。形式的冪級数環が多項式環の完備化として得られるように、完備化は「無限次の情報」を扱う枠組みを提供する。

I-進位相の定義

$R$ を可換環、 $I$ を $R$ のイデアルとする。 $R$ 上の $I$ -進位相（ $I$ -adic topology）とは、 ${I^{n} : n \geq 0}$ を $0$ の基本近傍系とする位相である。

この位相において、点列 ${r_{n}}$ が $0$ に収束するとは、任意の $N$ に対してある $n_{0}$ が存在し、 $n \geq n_{0}$ ならば $r_{n} \in I^{N}$ となることをいう。

開集合

$a + I^{n}$ （ $a \in R$ , $n \geq 0$ ）の形の集合が基本開集合をなす。

ハウスドルフ性

$⋂_{n = 0}^{\infty} I^{n} = 0$ のとき、かつそのときに限り $I$ -進位相はハウスドルフ。

$R$ の $I$ -進完備化（ $I$ -adic completion） $\hat{R}$ は、コーシー列の同値類として構成される。より具体的には

$\hat{R} = n lim R / I^{n}$

と射影極限で表せる。自然な写像 $R \to \hat{R}$ が存在し、 $⋂_{n} I^{n} = 0$ のとき単射となる。

$\hat{R}$ には $\hat{I}$ -進位相が入り、 $\hat{R}$ は $\hat{I}$ -進位相に関して完備である。

完備化前

$I^{n}$ で「切り詰めた」有限次の情報のみ。収束しない列が存在しうる。

完備化後

すべてのコーシー列が収束。無限次の極限操作が可能になる。

最も重要な例は、 $R = k [x]$ 、 $I = (x)$ の場合である。このとき

$\hat{R} = k [[x]]$

となり、形式的冪級数環が得られる。 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ という無限和が $I$ -進位相で収束するのである。

$R = Z$ 、 $I = (p)$ のとき、 $\hat{R} = Z_{p}$ は $p$ -進整数環となる。 $p$ -進数論の基礎をなす重要な環だ。

$R$ がネーター環で $I$ が真のイデアルならば、 $\hat{R}$ もネーター環である。さらに $\hat{R}$ は $R$ 上平坦である。

局所環 $(R, m)$ の $m$ -進完備化 $\hat{R}$ も局所環となり、その極大イデアルは $\hat{m} = m \hat{R}$ である。

平坦性

$R \to \hat{R}$ は平坦。したがって完備化は完全列を保つ。

忠実平坦性

$R$ が局所環のとき、 $R \to \hat{R}$ は忠実平坦。完備化で消える情報はない。

$M$ を $R$ -加群とするとき、 $M$ の $I$ -進完備化は

$\hat{M} = n lim M / I^{n} M$

で定義される。 $M$ が有限生成ならば $\hat{M} ≅ M \otimes_{R} \hat{R}$ が成り立つ。これは完備化がテンソル積と可換であることを示している。