無限に続く展開を環の中に入れる｜I 進位相と完備化

$k [x]$ の中では $1 + x + x^{2} + \dots$ を書けません。 $k [[x]]$ に移ると書けます。

差は完備かどうかです。 $x^{n}$ で切り詰めた情報を無限に積み上げてよい環に移す操作を、完備化と呼びます。

$I$ 進位相

$R$ を環、 $I$ をイデアルとします。 ${I^{n}}$ を $0$ の基本近傍系にとると、 $R$ に位相が入ります^[2]。

開集合の基本形は $a + I^{n}$ です。 $I^{n}$ の中に入るほど $0$ に近い、という測り方になります。

数列 ${r_{n}}$ が $0$ に収束するとは、どの $N$ に対してもある段から先で $r_{n} \in I^{N}$ となること。深く沈むほど小さい。

$R = Z$ 、 $I = (p)$ なら、 $p$ で何回割れるかが近さの尺度です。 $p^{100}$ は $0$ にとても近い数になります。

ふつうの絶対値

$p^{100}$ は大きい数。 $0$ から遠い

p

進の測り方

$p^{100}$ は $0$ にとても近い。 $p$ で 100 回割れるため

近さの意味が入れ替わります。この位相のもとで極限をとると、見慣れない収束が起きる。

ハウスドルフになる条件

$I$ 進位相がハウスドルフになるのは、 $⋂_{n} I^{n} = 0$ のとき、そしてそのときに限ります^[2]。

交わりに $0$ でない元 $a$ が残っていると、 $a$ はどの $I^{n}$ にも入るので $0$ と分離できません。位相が点を区別できなくなる。

ネーター環で $I$ が Jacobson 根基に入っていれば、交叉定理から交わりが $0$ になります。ネーター局所環ならつねにハウスドルフです^[2]。

完備化は逆極限

完備化はコーシー列の同値類として作れますが、逆極限で書くほうが扱いやすい^[2]。

$\hat{R} = n lim R / I^{n}$

各段の $R / I^{n}$ は「 $n$ 桁まで見た近似」です。段どうしは $R / I^{n + 1} \to R / I^{n}$ という切り捨てでつながっています。

逆極限の元は、切り捨てで整合する近似の列。つまり無限に続く展開そのものです^[3]。

自然な写像 $R \to \hat{R}$ の核は $⋂_{n} I^{n}$ です。ハウスドルフなら単射になります。

例：多項式環から形式的冪級数環へ

$R = k [x]$ 、 $I = (x)$ とします。 $R / I^{n}$ は $x^{n}$ で切り詰めた多項式の全体です。

逆極限をとると、係数を無限に並べたものが得られます。

$\hat{R} = k [[x]]$

$1 + x + x^{2} + \dots$ は $k [x]$ にありませんが、 $k [[x]]$ にはあります。しかもこれは $1 - x$ の逆元です。

もとの環では単元でなかった $1 - x$ が、完備化すると単元になる。定数項が $0$ でない級数はすべて単元です。

例：整数環から $p$ 進整数環へ

$R = Z$ 、 $I = (p)$ とすると $\hat{R} = Z_{p}$ です^[3]。各元が $p$ 進展開を持ちます。

$z_{0} + z_{1} p + z_{2} p^{2} + \dots, z_{i} \in {0, 1, \dots, p - 1}$

係数の選び方は一意に決まります。桁が無限に続くので、 $Z_{p}$ は非可算になる^[3]。もとの $Z_{(p)}$ は可算です。

見慣れない等式も出ます。 $- 1$ の $p$ 進展開は、 $p - 1$ が無限に並んだものです^[4]。

$- 1 = (p - 1) + (p - 1) p + (p - 1) p^{2} + \dots$

有理数はどれも、いずれ周期的な展開になります^[4]。 $Q_{3}$ で $\frac{2}{5}$ を書くと、先頭の $1$ のあとに $1210$ が繰り返される形。

10 進小数で有理数が循環するのと同じ現象です。並ぶ向きが逆になっているだけ。

完備化したあとに残る性質

$I$ が有限生成なら、 $\hat{R}$ 自身が $\hat{I}$ 進位相で完備になります^[1]。完備化を 2 度やっても何も増えません。

各段は変わりません。 $\hat{R} / I^{n} \hat{R} = R / I^{n}$ が成り立ちます^[1]。粗く見るかぎり、もとの環と同じものが見えている。

ネーター環なら $\hat{R}$ もネーターです。さらに $\hat{R}$ は $R$ 上平坦になります^[2]。完全列を壊しません。

局所環 $(R, m)$ の $m$ 進完備化は局所環で、極大イデアルは $m \hat{R}$ です。剰余体も変わらない。

\hat{R} / I^{n} \hat{R} = R / I^{n}

なので、有限段の情報は完備化で変化しない。

ネーター環では

\hat{R}

もネーターで、

R \to \hat{R}

は平坦。

局所環では

R \to \hat{R}

が忠実平坦になり、消える情報がない。

有限生成加群では

\hat{M} ≅ M \otimes_{R} \hat{R}

が成り立つ。

最後の同型が便利です。完備化という極限操作が、テンソル積という代数の操作に置き換わります。

例：完備化で分かれる特異点

$R = k [x, y] / (y^{2} - x^{2} (x + 1))$ を原点で局所化します。曲線としては原点で自分自身と交わる形。

もとの環は整域です。 $y^{2} - x^{2} (x + 1)$ が既約なので、 $0$ でない元どうしの積が $0$ になりません。

ところが完備化すると $x + 1$ が作れます。定数項が $1$ なので、平方根が冪級数として書けるためです。

$y^{2} - x^{2} (x + 1) = (y - x x + 1) (y + x x + 1)$

完備化した環では 2 つの成分に分かれます。原点で交わる 2 本の枝が、局所的には別々のものとして見える。

完備化は、局所環より細かく点のまわりを見る道具です。もとの環では見えなかった分解が現れます。

加群の完備化

$M$ を $R$ -加群とすると、完備化は $\hat{M} = lim_{n} M / I^{n} M$ で定まります。

$R$ がネーターで $M$ が有限生成なら $\hat{M} ≅ M \otimes_{R} \hat{R}$ です^[2]。有限生成でないとこの同型は崩れます。

平坦性も有限生成の範囲での話になります。無限生成の加群では、完備化が完全列を保たない例が作れる。

完備化は逆極限なので、素朴には左完全にしかならないはずのものです。

ネーター環と有限生成加群に限ると完全になります。Artin-Rees の補題がその保証を与えます。

$I$ が有限生成でないとき

$I$ が有限生成でないと、 $\hat{R}$ が $\hat{I}$ 進位相で完備にならない例があります^[1]。

完備化して完備にならない、という落とし穴です。定理の仮定に $I$ の有限生成が入っているのは、ここを避けるため。

ネーター環ならイデアルはすべて有限生成なので、この心配は要りません。

確かめかた

完備化が正しく計算できたかどうかは、各段の剰余環で見ます。

$\hat{R} / I^{n} \hat{R}$ を計算して $R / I^{n}$ と一致するか。ずれていれば、逆極限のとり方を間違えています。

$k [[x]]$ なら $k [[x]] / (x^{3}) = k [x] / (x^{3})$ です。 $2$ 次までの多項式が並ぶ、という一致がすぐ確かめられます。

$Z_{p}$ の中で、 $1 - p$ の逆元はどれですか。

存在しない
$1 + p + p^{2} + \dots$
$- 1 - p - p^{2} - \dots$

__RESULT__

$(1 - p) (1 + p + p^{2} + \dots)$ を展開すると、 $p$ の各冪が打ち消し合って $1$ が残ります。 $p$ 進位相では $p^{n} \to 0$ なので、この無限和が意味を持ちます。 $Z$ の中には逆元がありません。

つまずきやすいところ

⋂_{n} I^{n} \neq = 0

の環で

R \to \hat{R}

を単射だと思う。核がちょうどこの交わりです。

完備化しても各段が変わると考える。

\hat{R} / I^{n} \hat{R} = R / I^{n}

で、粗い情報は同じです。

有限生成でない加群に

\hat{M} ≅ M \otimes \hat{R}

を当てる。同型が崩れます。

I

が有限生成でないときに、完備化が完備だと決めてかかる。反例があります。

完備化で環が小さくなると考える。単元が増え、分解も増えます。

有限段の情報は変えずに、無限に続く展開だけを足す。完備化がしているのはそれだけです。

参考文献

Completion, Lemma 10.96.3. The Stacks Project.

Adic topology. Encyclopedia of Mathematics.

Matthias Künzer. *Kommutative Algebra*, §1.2.2.3. Universität Stuttgart.

Keith Conrad. *The p-adic expansion of rational numbers*. University of Connecticut.

$I^n$ を $0$ の基本近傍系にとると、$I$ で何回割れるかが近さの尺度になります。$\bigcap_n I^n = 0$ ならこの位相はハウスドルフで、完備化への写像が単射。完備化は $\varprojlim R/I^n$ で、$k[x]$ からは $k[[x]]$ が、$\mathbb{Z}$ からは $p$ 進整数環が出てきます。有限段の情報は変わらず、増えるのは単元と分解のほう。原点で交わる曲線が完備化すると 2 本に分かれる例まで見ます。