前回までの記事で、ルービックキューブ群の位数が $43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000$...

コンピュータの世界では、2 進法と 16 進法が頻繁に使われます。コンピュータ内部ではすべてのデータが 0 と 1 で表現される...

3 次関数の式が未知で、極値に関する条件だけが与えられている問題がある。「$x = 1$ で極大値 $5$ をとり、$x = 3...

加群の台（サポート）と随伴素イデアルは、加群の「局所的な振る舞い」を素イデアルを通じて捉える概念である。加群がどこで非ゼロか、ど...

ルービックキューブの全状態数――すなわちルービックキューブ群の位数――は約 4325 京（$4.33 \times 10^{19...

10 進法の数を $n$ 進法に変換するには、$n$ で繰り返し割っていく方法を使います。商が 0 になるまで割り続け、出てきた...

フーリエ級数は、周期関数を三角関数の無限和として表す手法です。偏微分方程式の変数分離法と組み合わせることで、熱方程式や波動方程式...

私たちが普段使っている数の表し方は 10 進法です。0 から 9 までの 10 種類の数字を使い、位が上がるごとに 10 倍にな...

ラプラス方程式は、定常状態や平衡状態を記述する楕円型偏微分方程式です。電磁気学の静電場、流体力学のポテンシャル流れ、定常熱分布な...

1次不定方程式は、日常的な場面を題材にした応用問題として出題されることが多いです。ここでは代表的なパターンを見ていきます。 両替...

3 次関数の最大値・最小値を求める問題は、2 次関数のときとは少し事情が異なる。2 次関数なら頂点さえ押さえれば最大・最小がわか...

前回の記事では、ルービックキューブの操作全体が群をなすことを確認した。本記事では一歩踏み込み、各基本操作をコーナーとエッジの置換...

曲線 $y = f(x)$ の接線を求める問題には、大きく分けて 2 つのパターンがある。1 つは「曲線上の点における接線」、も...

1次不定方程式 $ax + by = c$ が整数解を持つかどうかは、$a, b, c$ の関係で決まります。闘雲に解こうとする...

ルービックキューブは、6 色の面を持つ立体パズルであると同時に、群論の生きた教材でもある。ここでは 3×3×3 の標準的なルービ...

可換環 $R$ の素イデアル全体の集合 $\mathrm{Spec}\,R$ は、ザリスキ位相によって位相空間となる。これは代数...

群作用は群が集合の上で「対称性として働く」状況を記述する。軌道と安定化群は群作用の基本的な構造を捉える概念である。 群作用の定義...

波動方程式は、弦の振動、音波、電磁波など、振動・波動現象を記述する双曲型偏微分方程式です。ダランベールの公式により、解が明示的に...

ゼータ関数は数体の算術的情報を解析的に捉える道具です。その $s = 1$ での振る舞いが類数公式を与え、数論と解析学を結びつけ...

有限生成加群は可換環論における中心的な対象である。ベクトル空間が体上の有限次元性をもつのと同様に、環上の加群にも「有限生成」とい...

熱方程式は、熱伝導や拡散現象を記述する放物型偏微分方程式です。フーリエがこの方程式を解くために発明したフーリエ級数は、現代解析学...

相互法則は整数論の中心的なテーマで、ある数が別の数を法として平方剰余かどうかを判定する法則です。二次相互法則から始まり、より高次...

Hilbert 基底定理は、ネーター環の多項式環がふたたびネーター環になることを保証する。可換環論と代数幾何学の基礎を支える定理...

直観主義論理（intuitionistic logic）は、古典論理とは異なる基盤に立つ論理体系です。「構成的な証明」を重視し、...