正の整数 $x, y, z$ を用いて、$N = 9z^2 = x^6 + y^4$ と表される正の整数 $N$ の最小値を求め...

投げたときに表と裏の出る確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ のコインがある。A, B, C の 3 文字を BAC の...

自然数 $1, 2, 3, \ldots, n$ のうち、$n$ と互いに素であるものの個数を $f(n)$ とする。 (1) ...

2021 年の京都大学理系数学（前期）第 3 問で出題された無限級数の問題です。複素数を使う解法と、加法定理で連立させる解法の ...

2023 年の京都大学（理系）前期日程の第 1 問は、(1) 定積分の計算、(2) 整式の剰余を求める問題でした。どちらも基本的...

2024 年の京都大学・文系数学で出題された立方体の塗り分け問題。初等的な数え上げによる解法と、大学で学ぶ「彩色多項式」を使った...

単項イデアル整域（PID）は「すべてのイデアルが一つの元で生成される」という非常に扱いやすい性質をもつ環です。整数環 $\mat...

根基イデアルとニルラジカルは、イデアルや環の「冪零的な振る舞い」を捉える概念です。代数幾何学では、スキームの被約性と密接に関係し...

ゲーデルの第一不完全性定理は、1931年にクルト・ゲーデルが証明した、数学史上最も重要な結果の一つです。十分に強い形式的体系は、...

単数群の具体的な構造、特に基本単数の計算方法と実例を詳しく見ていきます。 二次体の単数群 二次体 $K = \mathbb{Q}...

ディリクレの単数定理は、数体の整数環における可逆元（単数）の構造を完全に記述する定理です。単数群が有限群と自由アーベル群の直積で...

類数公式は、数体の類数を解析的なデータから計算する公式です。デデキントゼータ関数の $s = 1$ での振る舞いと類数を結びつけ...

Artin 環とは、イデアルの降鎖条件（DCC）を満たす環のことである。ネーター環が昇鎖条件（ACC）を満たすのに対し、Arti...

偏微分方程式（PDE）は、複数の独立変数をもつ未知関数についての方程式です。2階線形偏微分方程式は、その係数に応じて3つのタイプ...

形式的体系（formal system）は、証明を数学的対象として厳密に定義するための枠組みです。何が公理であり、どのような規則...

レーヴェンハイム・スコーレム定理（Löwenheim-Skolem theorem）は、モデルのサイズに関する驚くべき結果を与え...

行列の指数関数 $e^{At}$ は、連立微分方程式の解を美しく表現する道具です。スカラーの指数関数の自然な拡張であり、制御理論...

連立微分方程式は、複数の未知関数が互いに影響し合うシステムを記述します。線形代数の知識を活かすことで、行列とベクトルの言葉で統一...

コンパクト性定理（compactness theorem）は、モデル理論の基本定理の一つです。無限と有限をつなぐ橋渡しの役割を果...

充足可能性（satisfiability）は、論理式にモデルが存在するかどうかを問う概念です。モデルの存在は、論理式の「実現可能...

イデアル類群は整数環が「どれだけ PID から離れているか」を測る群であり、その位数である類数は代数的整数論の中心的な不変量です...

フロベニウスの方法は、微分方程式が正則特異点をもつ場合に使う拡張されたべき級数解法です。ベッセル関数やルジャンドル関数など、多く...

モデル理論は、論理式とそれを解釈する数学的構造（モデル）の関係を研究する分野です。構造と解釈という概念を通じて、論理式に意味を与...

べき級数解法は、解を無限級数として表す方法です。初等関数で表せない解も扱え、特殊関数の定義にも使われます。 基本的な考え方 微分...