Artin環の定義と性質

Artin 環とは、イデアルの降鎖条件（DCC）を満たす環のことである。ネーター環が昇鎖条件（ACC）を満たすのに対し、Artin 環はその双対概念といえる。

定義

環 $R$ が Artin 環（Artinian ring）であるとは、$R$ のイデアルの任意の降鎖

$$I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots$$

が有限回で停止することをいう。同様に、$R$-加群 $M$ が Artin 加群 であるとは、部分加群の降鎖条件を満たすことをいう。

Artin 環の基本性質

Artin 環には強い構造定理が成り立つ。まず、可換 Artin 環はネーター環でもある。これは一般の環では成り立たない重要な事実だ。

可換 Artin 環 $R$ について、次が成立する。

構造定理

可換 Artin 環の構造は完全に決定される。$R$ を可換 Artin 環、${\mathfrak{m}}_1,\dots ,{\mathfrak{m}}_n$ をその極大イデアルとすると、中国剰余定理により

$$R\cong R_{{\mathfrak{m}}_1}\times \cdots \times R_{{\mathfrak{m}}_n}$$

と分解できる。各 $R_{{\mathfrak{m}}_i}$ は Artin 局所環であり、極大イデアルの冪がゼロになる。

Artin 局所環 $(R,\mathfrak{m})$ では、ある正整数 $n$ が存在して ${\mathfrak{m}}^n=0$ となる。このことから、Artin 局所環の元は単元かニルポテントのいずれかであることがわかる。

例

体 $k$ は Artin 環の最も単純な例である。イデアルは $(0)$ と $k$ しかないため、降鎖条件は自明に満たされる。

$k[x]/(x^n)$ も Artin 局所環の典型例だ。極大イデアルは $(x)$ の像であり、その $n$ 乗がゼロになる。一方、$k[x]$ 自体は Artin 環ではない。$(x)⊋(x^2)⊋(x^3)⊋\cdots$ という無限降鎖が存在するためである。

整数環 $\mathbb{Z}$ もネーター環だが Artin 環ではない。$(2)⊋(4)⊋(8)⊋\cdots$ が無限降鎖を与える。