アルティン環はなぜネーター環にもなるのか？

環 $R$ がアルティン環であるとは、イデアルの降鎖がどこかで止まることをいいます^[1,3]。

$$I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots$$

この形の列が、ある番号から先でずっと同じになる。ネーター環が昇鎖について要求する条件を、そのまま逆向きにした形です。

見た目は対称なのに、中身は対称ではありません。アルティン環はすべてネーター環になり、逆は成り立たない^[1,2,3]。

上りと下りは対称ではない

$\mathbb{Z}$ で試すと差が出ます。昇鎖 $(8)\subseteq (4)\subseteq (2)\subseteq \mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ で止まる。

降鎖は止まりません。$(2)⊋(4)⊋(8)⊋\cdots$ といくらでも小さくなる^[3]。

$2$ を掛けるたびにイデアルは真に小さくなり、$0$ には届かない。だから $\mathbb{Z}$ はネーター環でありながらアルティン環ではありません。

右では $(x)⊋(x^2)⊋(x^3)⊋(x^4)=0$ と、$4$ 段で $0$ に着く。着いてしまえばそれ以上は下がれない。

アルティンならネーター

左アルティン環は必ず左ネーター環になります^[1,3]。ホプキンス・レヴィツキの定理と呼ぶ。

降鎖条件のほうが強い、という非対称がここに出る。逆は成り立たず、$\mathbb{Z}$ が反例です^[2]。

証明の筋は、根基が冪零であることと、剰余加群がベクトル空間になることを組み合わせるものです。有限の長さを持つことから昇鎖条件も出る。

クルル次元 0 との同値

可換環では、きれいな言いかえがあります^[1,2]。

$2$ 番目が扱いやすい形です。アルティン性は「ネーター性 + 次元 $0$」に分解できる。

ネーター環のうち、素イデアルの鎖が $1$ 段も伸びないものだけがアルティン環になる。$\mathbb{Z}$ は次元 $1$ なので外れます。

素イデアルはすべて極大

アルティン環では、素イデアルと極大イデアルが一致する^[1]。次元 $0$ という条件を言いかえただけの形です。

$\mathfrak{p}$ を素イデアルとすると $R/\mathfrak{p}$ は整域で、しかもアルティン環になる。アルティン整域は体になるので、$\mathfrak{p}$ は極大です。

アルティン整域が体になる理由も降鎖から出る。$a\ne 0$ について $(a)\supseteq (a^2)\supseteq \cdots$ が止まるので $a^n=a^{n+1}b$、整域なので $1=ab$ となる。

裏返すと、素イデアルの鎖は $1$ 点で終わります。次元 $0$ という言い方と、素イデアルが全部極大だという言い方が、同じものを指している。

極大イデアルは有限個

アルティン環の極大イデアルは有限個しかありません^[1,4]。

証明は中国剰余定理を使う。相異なる極大イデアルを無限に並べると、それらの積が真に減りつづける降鎖を作ってしまう^[4]。

降鎖条件に反するので、極大イデアルは途中で尽きる。$\mathrm{Spec}(R)$ が有限集合になるのはこのためです。

根基は冪零

ジャコブソン根基、つまりすべての極大イデアルの共通部分は、アルティン環では冪零になります^[1]。

$${\mathfrak{m}}_1\cdots {\mathfrak{m}}_r=0(\text{ある冪で})$$

極大イデアルが有限個なので、共通部分と積が同じ役割を果たす。冪零であることが、有限の長さにつながる。

局所環の場合はいっそう単純です。唯一の極大イデアル $\mathfrak{m}$ について ${\mathfrak{m}}^n=0$ となる $n$ がある^[3]。

逆にネーター局所環で ${\mathfrak{m}}^n=0$ が成り立てば、その環はアルティンです^[3]。

有限個の局所環に分かれる

可換アルティン環は、有限個のアルティン局所環の直積に分解します^[1,2,3]。

$$R\cong R_{{\mathfrak{m}}_1}\times \cdots \times R_{{\mathfrak{m}}_r}$$

極大イデアルが有限個で互いに素なので、中国剰余定理がそのまま当たる。分解は同型を除いて一意です。

$\mathrm{Spec}(R)$ が有限で離散だという条件は、この分解と同じことを述べています^[1]。点が離れて並んでいるので、環も因子に分かれる。

有限の長さを持つ

アルティン環は、自分自身を加群と見たとき有限の長さを持ちます^[1]。組成列が有限で終わる、という意味です。

有限の長さは、昇鎖条件と降鎖条件を同時に与える。ここがアルティン性からネーター性が出る仕組みの中心にある。

$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ なら長さは $3$ になる。素因数分解 $12=2^2\cdot 3$ の指数を足した数と一致します。

体上の有限次元代数がアルティンになるのも、同じ理由です^[2]。次元が有限なら、部分空間の鎖が上にも下にも伸びません。

例: 体

体はいちばん単純なアルティン環です。イデアルが $(0)$ と全体の $2$ つしかないので、降鎖は自明に止まる。

次元 $0$ でネーターでもあるので、同値条件のどれから見ても当てはまる。

例: k[x] を x の冪で割る

$k[x]/(x^n)$ はアルティン局所環の典型です^[1,3]。極大イデアルは $x$ の像が生成し、その $n$ 乗が $0$ になる。

イデアルは $(x^i)$ の像だけで、全部で $n+1$ 個。降鎖はどうやっても $n$ 段で尽きます。

$k$ 上のベクトル空間としての次元は $n$ で、長さも $n$ です。有限次元代数としてもアルティンになる。

例: 整数を n で割る

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は有限環なので、アルティンです^[1]。イデアルの個数そのものが有限なので、降鎖の入りようがありません。

$n=12$ なら極大イデアルは $(2)$ と $(3)$ の $2$ つ。構造定理どおり $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ に分かれる。

反例: 整数環と多項式環

$\mathbb{Z}$ も $k[x]$ もアルティンではありません^[1,3]。どちらもネーター環で、次元が $1$ あります。

$k[x]$ では $(x)⊋(x^2)⊋(x^3)⊋\cdots$ が止まらない。$x$ を掛け続けても $0$ にならないところが、$k[x]/(x^n)$ との違いです。

割ってはじめてアルティンになる、と読めます。次元を $0$ まで落とす操作が、そのまま降鎖条件を生む。

剰余環と局所化は受けつぐ

アルティン環の剰余環は、またアルティン環になります^[1]。$R/I$ のイデアルは $R$ のイデアルの像なので、降鎖もそのまま像として降りてくる。

局所化も同じ^[1]。次元 $0$ とネーター性が両方とも局所化で保たれるので、同値条件の $2$ 番目から従います。

もっとも、次元 $0$ の環では局所化しても新しいものは出ません。極大イデアルで局所化すれば、直積の因子がそのまま取り出せる。

非可換だと左右が食い違う

可換環では左の降鎖条件と右の降鎖条件が一致します。非可換環では、この $2$ つが食い違うことがあります^[1]。

体上の有限次元行列環はアルティンです^[1,2]。ベクトル空間として有限次元なので、左右どちらの鎖も止まる。

極小素での局所化

ネーター環を極小素イデアルで局所化すると、アルティン環が出ます^[3]。

極小素の下には素イデアルがないので、局所環の次元は $0$。ネーター性は局所化で保たれるので、同値条件の $2$ 番目がそろう。

準素分解や重複度の議論で、この形のアルティン環がよく現れる。長さが有限なので、数として扱えるためです。

よくある誤り

参考文献