有限和で類数が決まる（ディリクレの類数公式とレギュレーター）

類数はイデアル類を数えた個数です。数え上げの量なのに、無限級数の極限から出てきます。

デデキントゼータ関数 $ζ_{K} (s)$ の $s = 1$ での留数に、類数がそのまま現れる^[1]。この橋渡しが類数公式です。

留数に 5 つの量が同居する

$K$ を $n$ 次の数体、 $r_{1}$ を実埋め込みの個数、 $r_{2}$ を複素埋め込みの対の個数とします。 $ζ_{K}$ は $s = 1$ に $1$ 位の極を持ち、留数は次の値です^[1]^[2]。

$s \to 1 lim (s - 1) ζ_{K} (s) = \frac{2 ^{r_{1}} ( 2 π ) ^{r_{2}} h _{K} R _{K}}{w _{K} ∣ d _{K} ∣}$

右辺に出るのは $5$ 種類の量です。

$h_{K}$	類数。イデアル類の個数
$R_{K}$	レギュレーター。単数の対数から作る行列式
$w_{K}$	$K$ に入る $1$ のべき根の個数
$d_{K}$	判別式
$r_{1}, r_{2}$	実埋め込みと複素埋め込みの対の個数

代数的な量が $4$ つ、解析的な量が左辺に $1$ つ。どれか $4$ つが分かればもう $1$ つが決まる、という形になっています。

レギュレーターは単数の大きさ

$R_{K}$ だけ聞き慣れない量です。単数群の自由部分の階数を $r = r_{1} + r_{2} - 1$ とし、基本単数 $ε_{1}, \dots, ε_{r}$ をとります。

$lo g ∣ σ_{i} (ε_{j}) ∣$ を並べた $r \times r$ 行列の行列式の絶対値がレギュレーターです。単数が対数空間でどれだけ広がっているかを測る量になる。

虚二次体では $r = 0 + 1 - 1 = 0$ なので、行列が空になり $R_{K} = 1$ です。実二次体では $r = 1$ で、基本単数 $ε > 1$ をとると $R_{K} = lo g ε$ になります。

虚二次体で式を書き下す

虚二次体では $r_{1} = 0$ 、 $r_{2} = 1$ 、 $R_{K} = 1$ です。いっぽう $ζ_{K} (s) = ζ (s) L (s, χ_{d})$ と分解し、 $ζ$ の留数が $1$ なので、留数は $L (1, χ_{d})$ になります^[2]。

$h_{K} = \frac{w _{K} ∣ d _{K} ∣}{2 π} L (1, χ_{d})$

$χ_{d}$ は判別式に付随するクロネッカー記号で、法 $∣ d_{K} ∣$ の指標です。 $L (1, χ_{d})$ は無限和なので、このままだと近似計算になります。

無限和は有限和に落ちる

ところが $L (1, χ_{d})$ には閉じた形があります。虚二次体では、次の有限和で類数がぴったり決まる。

$h_{K} = - \frac{w _{K}}{2∣ d _{K} ∣} a = 1 \sum ∣ d_{K} ∣ - 1 χ_{d} (a) a$

$∣ d_{K} ∣ - 1$ 個の項を足すだけです。無限級数が消えて、割り算 $1$ 回で終わります。

例：判別式 $- 20$ を最後まで

$K = Q (- 5)$ をとります。 $d_{K} = - 20$ 、 $w_{K} = 2$ です。

$χ_{- 20} (a)$ は $20$ と互いに素でない $a$ で $0$ になり、残りは $8$ 個。値を並べると次のようになります。

$+ 1$ になるのは $a = 1, 3, 7, 9$ 、 $- 1$ になるのは $a = 11, 13, 17, 19$ です。 $χ_{d} (a) \cdot a$ の総和は $20 - 60 = - 40$ 。

公式に入れると $h_{K} = - \frac{2}{2 \cdot 20} \cdot (- 40) = 2$ になります。ミンコフスキーの限界で素イデアルを調べて出した $h_{K} = 2$ と一致する^[3]。

$L$ 関数の値も確かめられます。 $L (1, χ_{- 20}) \approx 1.404958$ で、 $\frac{2 20}{2 π} \times 1.404958 \approx 2.000$ 。無限和の側からも同じ答えが出ます。

図のとおり収束は遅い。有限和の公式が用意されている理由がここにあります。

実二次体はレギュレーターが混じる

実二次体では $r_{1} = 2$ 、 $r_{2} = 0$ 、 $w_{K} = 2$ なので、留数は $\frac{2 h _{K} R _{K}}{d _{K}}$ です。 $ζ_{K} = ζ L$ の分解と合わせると次が出ます。

$h_{K} R_{K} = \frac{d _{K}}{2} L (1, χ_{d})$

左辺が $h_{K}$ と $R_{K}$ の積なので、片方だけを切り離せません。ここが虚二次体との決定的な違いです。

$Q (5)$ で確かめます。 $d_{K} = 5$ 、 $L (1, χ_{5}) \approx 0.430409$ なので右辺は $\frac{5}{2} \times 0.430409 \approx 0.481212$ 。

基本単数は黄金比 $ε = \frac{1 + 5}{2}$ で、 $lo g ε \approx 0.481212$ 。ぴったり一致するので $h_{K} R_{K} = R_{K}$ 、つまり $h_{K} = 1$ です。

虚二次体

$R_{K} = 1$ なので類数が直接出る。有限和の公式も使える

実二次体

$h_{K} R_{K}$ の積しか出ない。基本単数を別に求めて割る必要がある

実二次体で類数 $1$ が無限にあるかが未解決なのも、この分離の難しさと無関係ではありません^[3]。レギュレーターが大きいと類数は小さくなり、両者が競合します。

副産物のほうが有名になった

類数公式は $L (1, χ) \neq = 0$ を含んでいます。 $h_{K} \geq 1$ かつ $R_{K} > 0$ なので、右辺が $0$ になりようがないためです。

この非消滅から、ディリクレの算術級数定理が出ます。 $g cd (a, m) = 1$ なら、 $a, a + m, a + 2 m, \dots$ に素数が無限に含まれる。

留数に類数が現れる

類数は 1 以上なので L(1) は 0 でない

指標の直交性で素数を数える

等差数列に素数が無限にある

類数という代数の量が、素数の分布という別の問題を支えています。橋を渡ったあとで、もとの岸のほうが広がった形です。

虚二次体で類数公式が有限和になるのはなぜですか。

類数が有限だから
レギュレーターが $1$ で、 $L (1, χ)$ に閉じた形があるから
判別式が負だから

__RESULT__

虚二次体では単数群の自由部分の階数が $0$ なので $R_{K} = 1$ です。残る $L (1, χ_{d})$ は $χ_{d} (a) \cdot a$ の有限和で書けるため、無限級数を計算せずに済みます。実二次体では $h_{K} R_{K}$ の積しか出ません。

参考

Dedekind zeta-function - Encyclopedia of Mathematics

Pascal Molin, *Fonctions zêta de Dedekind*, Université Paris Cité

Quadratic field - Encyclopedia of Mathematics

$\zeta_K(s)$ の $s = 1$ での留数に $h_K$、$R_K$、$w_K$、$d_K$ がまとめて現れます。虚二次体では $R_K = 1$ なので $h_K = -\frac{w_K}{2|d_K|}\sum_a \chi_d(a)\,a$ という有限和になる。$d_K = -20$ なら $\chi$ が $+1$ なのは $1, 3, 7, 9$、$-1$ なのは $11, 13, 17, 19$ で、総和 $-40$ から $h_K = 2$。実二次体では積 $h_K R_K$ しか出ず、$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ では $\frac{\sqrt{5}}{2}L(1,\chi_5) = \log\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ から $h_K = 1$ と決まる。$L(1,\chi) \neq 0$ が算術級数定理を支える話まで。