類数公式（代数的整数論）

類数公式は、数体の類数を解析的なデータから計算する公式です。デデキントゼータ関数の $s = 1$ での振る舞いと類数を結びつけます。

デデキントゼータ関数

$K$ を数体とします。デデキントゼータ関数は

$ζ_{K} (s) = I \sum \frac{1}{N ( I ) ^{s}} = p \prod \frac{1}{1 - N ( p ) ^{- s}}$

で定義されます。和は $O_{K}$ の非零イデアル全体、積は素イデアル全体をわたります。 $\mathrm{Re}(s) > 1$ で絶対収束し、全複素平面に有理型関数として解析接続されます。

$K = Q$ のとき $ζ_{Q} (s) = ζ (s)$ はリーマンゼータ関数です。

$ζ_{K} (s)$ は $s = 1$ で1位の極を持ちます。その留数が類数と関係しています。

$s \to 1 lim (s - 1) ζ_{K} (s) = \frac{2 ^{r_{1}} ( 2 π ) ^{r_{2}} h _{K} R _{K}}{w _{K} ∣ d _{K} ∣}$

ここで各記号の意味は以下の通りです。

二次体では公式がより具体的になります。

虚二次体 $K = Q (d)$ （ $d < 0$ ）の場合、単数は有限個しかないので $R_{K} = 1$ です。

$h_{K} = \frac{w _{K} ∣ d _{K} ∣}{2 π} L (1, χ_{d})$

ここで $L (s, χ_{d})$ はディリクレの $L$ 関数、 $χ_{d}$ は判別式に付随するクロネッカー記号です。

虚二次体

$R_{K} = 1$ 。類数は $L (1, χ_{d})$ の値で直接計算可能。

実二次体

$R_{K} \neq = 1$ 。レギュレーターの計算が必要。

$χ$ を法 $m$ の原始ディリクレ指標とします。ディリクレ $L$ 関数は

$L (s, χ) = n = 1 \sum \infty \frac{χ ( n )}{n ^{s}} = p \prod \frac{1}{1 - χ ( p ) p ^{- s}}$

です。 $χ$ が非自明のとき $L (1, χ) \neq = 0$ であり、これはディリクレの算術級数定理の証明に使われます。

二次体の判別式 $d_{K}$ に対し、 $χ_{d} (n) = (\frac{d _{K}}{n})$ （クロネッカー記号）とおくと、

$ζ_{K} (s) = ζ (s) L (s, χ_{d})$

という分解が成り立ちます。

$K = Q (- 5)$ の類数を計算してみます。 $d_{K} = - 20$ 、 $w_{K} = 2$ （ $\pm 1$ のみ）です。

$L (1, χ_{- 20}) = n = 1 \sum \infty \frac{χ _{- 20} ( n )}{n}$

を計算すると（有限和で近似可能）、 $h_{K} = 2$ が得られます。これは Minkowski の限界を使った直接計算と一致します。

類数公式は単なる計算道具にとどまりません。

解析的類数公式

$L (1, χ) \neq = 0$ の証明に使われ、算術級数定理につながる。

BSD 予想への一般化

楕円曲線の $L$ 関数と有理点の関係を予想する際のモデルとなった。

類数と $L$ 関数の関係は、数論における最も深い結びつきの一例です。