根基イデアルとニルラジカルの定義と例

根基イデアルとニルラジカルは、イデアルや環の「冪零的な振る舞い」を捉える概念です。代数幾何学では、スキームの被約性と密接に関係します。

イデアルの根基

$R$ を可換環、 $I$ を $R$ のイデアルとします。 $I$ の根基 $I$ （またはラジカル $rad (I)$ ）を

$I = {a \in R ∣ \exists n \geq 1, a^{n} \in I}$

で定義します。これは「何乗かすると $I$ に入る元」の全体です。

$I$ は $I$ を含むイデアルであり、 $I \subseteq I$ が成り立ちます。

根基イデアル

イデアル $I$ が根基イデアルであるとは、 $I = I$ が成り立つことをいいます。すなわち、 $a^{n} \in I$ ならば $a \in I$ となる性質です。

根基イデアルの特徴づけ

$I$ が根基イデアル $⟺$ $I$ は素イデアルの共通部分として書ける

実際、 $I = ⋂_{p \supseteq I} p$ （ $I$ を含むすべての素イデアルの共通部分）が成り立ちます。

ニルラジカル

零イデアル $(0)$ の根基を環 $R$ のニルラジカルといい、 $N (R)$ または $nil (R)$ と書きます。

$N (R) = (0) = {a \in R ∣ \exists n \geq 1, a^{n} = 0}$

これは $R$ の冪零元全体の集合です。

ニルラジカルの性質

N (R)

はイデアルである（冪零元の和・積も冪零）

N (R) = ⋂_{p \in Spec (R)} p

（すべての素イデアルの共通部分）

R / N (R)

は被約環（冪零元をもたない環）

二つ目の等式は重要で、「すべての素イデアルに含まれる元」がちょうど冪零元であることを示しています。

根基の計算

具体的な環で根基を計算してみよう。

整数環 $Z$ の場合

$Z$ において、 $(n)$ は $n$ の素因数の積で生成される。たとえば $n = 72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ なら

$(72) = (2 \cdot 3) = (6)$

となる。これは「 $a^{k}$ が $72$ で割り切れるような $a$ 」を集めると、結局 $6$ の倍数全体になるということだ。

なぜ素因数の積か

$a^{k} \in (n)$ となるには、 $a$ が $n$ のすべての素因数を持てば十分。冪乗すれば指数はいくらでも増やせるので、各素因数は1つずつあればよい。

一般の公式

$n = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{r}^{e_{r}}$ のとき $(n) = (p_{1} \dots p_{r})$

多項式環の場合

$k [x]$ でも同様に計算できる。 $I = (x^{2} (x - 1)^{3})$ なら

$I = (x (x - 1)) = (x^{2} - x)$

因数分解して、各既約因子を1つずつ取ればよい。

具体例

Z /12 Z

$12 = 2^{2} \cdot 3$ より、素イデアルは $(2), (3)$ に対応する $(\overset{ˉ}{2}), (\overset{ˉ}{3})$ 。ニルラジカルは $(\overset{ˉ}{2}) \cap (\overset{ˉ}{3}) = (\overset{ˉ}{6})$ 。実際 $\overset{ˉ}{6}^{2} = \overset{ˉ}{36} = \overset{ˉ}{0}$ 。

k [x] / (x^{n})

$\overset{x}{ˉ}^{n} = 0$ なので $\overset{x}{ˉ}$ は冪零。ニルラジカルは $(\overset{x}{ˉ})$ 。

ヤコブソン根基との違い

ニルラジカルと似た概念にヤコブソン根基 $J (R)$ があります。

ニルラジカル

すべての素イデアルの共通部分。冪零元全体。

ヤコブソン根基

すべての極大イデアルの共通部分。 $1 + J (R)$ の元はすべて単元。

一般に $N (R) \subseteq J (R)$ ですが、等号は成り立つとは限りません。

根基と局所化

素イデアル $p$ による局所化に対し

$I R_{p} = I R_{p}$

が成り立ちます。根基をとる操作と局所化は可換です。