まっすぐ進める方向は 2 本だけ（連立 1 階線形微分方程式を固有値で解く）

2 つの量が互いを引っぱり合うとき、平面上のどの点にも「次に進む向き」が 1 本ずつ決まります。

$\frac{d x}{d t} = A x$

たいていの点では、進む向きと原点から見た向きが食い違う。だから軌道は曲がります。

食い違わない方向が 2 本だけあります。 $A$ の固有ベクトルの向きで、その直線に乗った点は直線から出ません^[1]。

まっすぐ進む方向を探す

$x = e^{λ t} v$ という形の解を仮定します。 $v$ は定ベクトルです。

$λ e^{λ t} v = A e^{λ t} v ⟹ A v = λ v$

$e^{λ t}$ が消えて、固有値問題だけが残りました。 $v$ が固有ベクトルなら、この形の解が作れます。

意味を絵にすると分かりやすい。固有ベクトルの直線上では、速度 $A x$ が位置 $x$ と平行になります。

平行なので、その直線から外れる成分がない。乗ったら最後、直線に沿って進むだけです。

例：固有値の符号が違う場合

$A = (1221)$

特性方程式は $(1 - λ)^{2} - 4 = 0$ 、つまり $λ^{2} - 2 λ - 3 = 0$ です。根は $3$ と $- 1$ 。

$λ = 3$ では $(A - 3 I) v = 0$ を解いて $v_{1} = (1, 1)$ 。 $λ = - 1$ では $v_{2} = (1, - 1)$ になります。

$x (t) = c_{1} e^{3 t} (11) + c_{2} e^{- t} (1 - 1)$

$(1, 1)$ の向きには遠ざかり、 $(1, - 1)$ の向きには近づきます。原点は鞍点です^[2]。

初期値がちょうど $(1, - 1)$ の直線上にあれば原点へ落ちますが、少しでもずれると $e^{3 t}$ の項が育つ。

例：複素固有値のとき

$A = (12 - 2 1)$

特性方程式は $λ^{2} - 2 λ + 5 = 0$ で、根は $1 \pm 2 i$ 。固有ベクトルも複素数になります。

$λ = 1 + 2 i$ に対して $v = (1, - i)$ がとれます。解を書き下してみる。

$e^{(1 + 2 i) t} (1 - i) = e^{t} (cos 2 t + i sin 2 t) (1 - i)$

係数が実数なので、複素数の解の実部と虚部は、それぞれ単独で実数の解になります。展開して分けます。

$x (t) = c_{1} e^{t} (cos 2 t sin 2 t) + c_{2} e^{t} (sin 2 t - cos 2 t)$

$e^{t}$ が振幅を、 $2 t$ が回転を担う。まわりながら遠ざかる渦になります^[2]。

実部が正なら外向き、負なら内向き。 $0$ ちょうどなら閉じた楕円を描きます。

例：固有ベクトルが 1 本しかない場合

$A = (2 - 1 14)$

特性方程式は $λ^{2} - 6 λ + 9 = (λ - 3)^{2}$ 。 $λ = 3$ の重根です。

$A - 3 I$ を作ると、行がどちらも同じ式になります。固有ベクトルは $v_{1} = (1, 1)$ の 1 本だけ。

解が 1 本しか作れません。2 本目を探すために、次の形を試します。

$x = e^{λ t} (v_{2} + t v_{1})$

微分すると $λ e^{λ t} (v_{2} + t v_{1}) + e^{λ t} v_{1}$ 。一方 $A x = e^{λ t} (A v_{2} + t λ v_{1})$ です。

$t$ の項は両辺で一致しています。残りを比べると、 $v_{2}$ が満たすべき式が出ます。

$λ v_{2} + v_{1} = A v_{2} ⟹ (A - λ I) v_{2} = v_{1}$

右辺が $0$ ではなく $v_{1}$ 。こういう $v_{2}$ を一般化固有ベクトルと呼びます^[3]。

この例では $v_{2} = (0, 1)$ がとれます。

$x (t) = c_{1} e^{3 t} (11) + c_{2} e^{3 t} [(01) + t (11)]$

一般化固有ベクトルの式は、 $v_{1}$ が「 $A - λ I$ で 1 段落ちた先」にいることを言っています。

重複度が 3 なら鎖がもう 1 段伸び、 $t^{2} /2$ の項まで現れる。

相図を分類する

固有値の組み合わせで、原点まわりの絵が決まります。トレースと行列式の 2 つの数だけで判定できる。

$τ = tr A = λ_{1} + λ_{2}, Δ = det A = λ_{1} λ_{2}$

判別式は $τ^{2} - 4Δ$ です。特性方程式 $λ^{2} - τ λ + Δ = 0$ の判別式そのもの。

条件	原点の呼び名
$Δ < 0$	鞍点
$Δ > 0$ 、 $τ^{2} > 4Δ$ 、 $τ < 0$	安定な結節点
$Δ > 0$ 、 $τ^{2} < 4Δ$ 、 $τ < 0$	安定な渦状点
$Δ > 0$ 、 $τ = 0$	中心

$τ > 0$ の側は、同じ形のまま向きが逆になります。近づく代わりに遠ざかる^[1]。

canvas: 絵を作れませんでした

安定性の判定

すべての固有値の実部が負なら、解は原点へ収束します。2 次の場合、条件は $τ < 0$ と $Δ > 0$ の 2 つにまとまる。

理由は根と係数の関係です。 $Δ = λ_{1} λ_{2} > 0$ なら 2 つは同符号か、共役な複素数。

$τ = λ_{1} + λ_{2} < 0$ が加われば、同符号のときは両方が負、複素数のときは実部が負になります。

行列の成分をぜんぶ見なくても、2 つの数を計算するだけで安定かどうかが決まる。

高階の方程式を連立に直す

$y^{''} + p y^{'} + q y = 0$ を $x_{1} = y$ 、 $x_{2} = y^{'}$ と置いて書き直します。

$A = (0 - q 1 - p)$

トレースは $- p$ 、行列式は $q$ 。判別式 $τ^{2} - 4Δ$ は $p^{2} - 4 q$ になります。

2 階の方程式で見慣れた判別式が、そのまま出てきました。振動するかしないかの判定が、渦状点か結節点かの判定と同じものだと分かります。

非線形の系を近づける

現実の問題では、右辺が線形とは限りません。それでも平衡点のまわりでは、線形の系で近似できます^[4]。

捕食者と被食者の数を $x$ と $y$ とする、次の形を考えます。

$\frac{d x}{d t} = x (a - b y), \frac{d y}{d t} = y (c x - d)$

右辺が $0$ になるのは $x = \frac{d}{c}$ 、 $y = \frac{a}{b}$ のとき。ここでヤコビ行列を作ります。

$J = (0 c a / b - b d / c 0)$

対角成分が $0$ なので $τ = 0$ 。行列式は $Δ = a d > 0$ です。分類表では中心にあたります。

閉じた軌道が予想されます。実際、被食者が増えると捕食者が増え、捕食者が増えると被食者が減る、という循環が起きる。

捕食者の山が、被食者の山より少し遅れて来ます。この遅れが循環を生んでいる。

ただし線形近似で中心が出た場合は、注意が要ります。実際の系が中心のままか、わずかに巻きこむ渦になるかは、近似の外側で決まるためです。

鞍点や結節点のとき

近似で出た結論が、もとの非線形の系でもそのまま通る

中心のとき

近似では判定しきれない。捨てた高次の項が向きを決める

検算のしかた

固有値を求めたら、まずトレースと行列式に足し算と掛け算で戻れるかを見ます。 $λ_{1} + λ_{2} = τ$ と $λ_{1} λ_{2} = Δ$ が合っていれば、計算違いはほぼありません。

固有ベクトルは $A v$ を実際に計算し、 $λ v$ になるかを確かめる。成分が 2 つとも合う必要があります。

複素固有値のときは、実部と虚部に分けた 2 本をそれぞれ代入します。片方だけ合うことはないので、どちらかで確かめれば十分です。

$tr A = - 2$ 、 $det A = 5$ のとき、原点はどの型になりますか。

鞍点
安定な結節点
安定な渦状点

__RESULT__

$det A > 0$ なので鞍点ではありません。判別式は $(- 2)^{2} - 4 \cdot 5 = - 16$ で負なので、固有値は複素数になります。 $tr A < 0$ から実部が負で、まわりながら原点へ近づく渦状点です。

固有ベクトルの向きを 2 本探し、そこからの外れ方で軌道が決まる。連立の方程式は、線形代数の言葉に置き換えると見通しがよくなります。

出典

*Phase Portraits of Sinks*. Linear Algebra and Differential Equations, The Ohio State University.

Jiří Lebl. *Two Dimensional Systems and Their Vector Fields*/3%3A_Systems_of_ODEs/3.5%3A_Two_dimensional_systems_and_their_vector_fields). Differential Equations for Engineers.

Jiří Lebl. *Repeated Eigenvalues*. Notes on Diffy Qs.

Stability Matrix. Wolfram MathWorld.

$\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ に $e^{\lambda t}\mathbf{v}$ を入れると $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ だけが残ります。固有ベクトルの直線上では速度が位置と平行になるので、その直線から出ない。複素固有値では実部と虚部がそれぞれ実数の解になり、$e^{\alpha t}$ が振幅を、虚部が回転を担います。固有ベクトルが足りないときは $(A-\lambda I)\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1$ を解き、$(\mathbf{v}_2 + t\mathbf{v}_1)e^{\lambda t}$ が 2 本目になる。原点の型はトレースと行列式の 2 つだけで決まり、$\tau<0$ かつ $\Delta>0$ が安定の条件です。捕食者と被食者の系を平衡点で線形化すると、中心が現れる。