連立1階線形微分方程式

連立微分方程式は、複数の未知関数が互いに影響し合うシステムを記述します。線形代数の知識を活かすことで、行列とベクトルの言葉で統一的に扱えます。

連立1階線形微分方程式の形

${\frac{d x}{d t} = a_{11} x + a_{12} y \frac{d y}{d t} = a_{21} x + a_{22} y$

これをベクトル・行列形式で書くと、

$\frac{d x}{d t} = A x, x = (x y), A = (a_{11} a_{21} a_{12} a_{22})$

となります。 $n$ 個の未知関数に対しても同様に $n \times n$ 行列で表現できます。

$x = e^{λ t} v$ の形の解を仮定します。代入すると、

$λ e^{λ t} v = A e^{λ t} v$

$e^{λ t} \neq = 0$ で割ると、 $A v = λ v$ となります。これは $A$ の固有値問題です。

固有値 $λ$ と固有ベクトル $v$ が見つかれば、 $x = e^{λ t} v$ は解になります。

異なる実固有値

λ_{1} \neq = λ_{2}

一般解は $x = c_{1} e^{λ_{1} t} v_{1} + c_{2} e^{λ_{2} t} v_{2}$ 。

複素共役固有値

α \pm i β

実数解は $x = e^{α t} (c_{1} cos βt + c_{2} sin βt)$ の形。振動を表します。

重複固有値（固有ベクトルが1つ）

一般化固有ベクトルを使い、 $(c_{1} + c_{2} t) e^{λ t}$ の形を含む解になります。

$\frac{d x}{d t} = (1141) x$

特性方程式 $det (A - λ I) = 0$ を解きます。

$(1 - λ)^{2} - 4 = 0 ⟹ λ^{2} - 2 λ - 3 = 0$

$(λ - 3) (λ + 1) = 0$ より $λ_{1} = 3$ , $λ_{2} = - 1$ 。

$λ_{1} = 3$ に対して $(A - 3 I) v = 0$ を解くと $v_{1} = 5$ 。

$λ_{2} = - 1$ に対して $v_{2} = 6$ 。

一般解は

$x = c_{1} e^{3 t} (21) + c_{2} e^{- t} (- 2 1)$

解の振る舞いは相平面上の軌道として可視化できます。固有値の符号によって安定性が決まります。

安定（

Re (λ) < 0

for all

λ

）

解は原点に収束します。すべての軌道が原点に向かう。

不安定（

Re (λ) > 0

for some

λ

）

解は原点から離れていきます。少なくとも一方向に発散。

$n$ 階微分方程式は、常に $n$ 元の連立1階方程式に書き換えられます。たとえば $y^{''} + p y^{'} + q y = 0$ は、 $x_{1} = y$ , $x_{2} = y^{'}$ と置くと

$\frac{d}{d t} (x_{1} x_{2}) = (0 - q 1 - p) (x_{1} x_{2})$

となります。この変換により、すべての線形微分方程式を統一的に扱えます。