行列の指数関数と解法

行列の指数関数 $e^{At}$ は、連立微分方程式の解を美しく表現する道具です。スカラーの指数関数の自然な拡張であり、制御理論や量子力学でも重要な役割を果たします。

行列の指数関数の定義

スカラーの指数関数 $e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ を行列に拡張して、

$$e^A=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{A^n}{n!}=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$$

と定義します。この級数は任意の正方行列 $A$ に対して収束します。

連立微分方程式の解

$\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}$ の解は、

$$\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)$$

と書けます。これはスカラーの場合 $\frac{dx}{dt}=ax$ の解 $x(t)=e^{at}x(0)$ の自然な一般化です。

$e^{At}$ の計算方法

$e^{At}$ を直接計算するにはいくつかの方法があります。

対角化による計算例

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

対角行列なので、

$$e^{At}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{3t}& 0\\ 0& e^{-t}\end{array}\right)$$

です。

対角化できない場合

$$A=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$$

（ジョルダンブロック）の場合、

$$e^{At}=e^{\lambda t}\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)$$

となります。$t$ の多項式が現れるのが特徴です。

非同次方程式への応用

$\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}+\mathbf{f}(t)$ の解は、

$$\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)+{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}\mathbf{f}(\tau )d\tau$$

で与えられます。第1項が同次解、第2項（デュアメルの公式）が非同次の寄与です。

行列指数関数の性質

注意すべきは、$AB\ne BA$ のとき $e^{A+B}\ne e^A{e}^B$ であることです。これは行列の非可換性から来る本質的な違いです。

物理への応用

量子力学の時間発展演算子 $U(t)=e^{-iHt/\hslash }$ はまさに行列指数関数です。ハミルトニアン $H$ の固有値・固有ベクトルを求めることが、量子系の時間発展を理解する鍵となります。