ディリクレの単数定理｜代数的整数論

ディリクレの単数定理は、数体の整数環における可逆元（単数）の構造を完全に記述する定理です。単数群が有限群と自由アーベル群の直積であることを示します。

単数の定義

$K$ を数体、${\mathcal{O}}_K$ をその整数環とします。${\mathcal{O}}_K$ の単数とは、${\mathcal{O}}_K$ 内で可逆な元、すなわち $\alpha \in {\mathcal{O}}_K$ で ${\alpha }^{-1}\in {\mathcal{O}}_K$ となるものです。

単数全体は乗法群をなし、${\mathcal{O}}_K^{\times }$ または $U_K$ と書きます。

ノルムによる特徴付けとして、$\alpha \in {\mathcal{O}}_K$ が単数であることと $N(\alpha )=\pm 1$ であることは同値です。

定理の主張

$K$ を次数 $n$ の数体とし、$r_1$ を実埋め込みの数、$r_2$ を複素埋め込みの対の数とします（$n=r_1+2r_2$）。このとき

$${\mathcal{O}}_K^{\times }\cong {\mu }_K\times {\mathbb{Z}}^{r_1+r_2-1}$$

ここで ${\mu }_K$ は $K$ に含まれる1のべき根全体（有限巡回群）です。

具体例

いくつかの数体での単数群を見てみます。

虚二次体では単数は有限個しかありませんが、実二次体では無限に多くの単数があります。

基本単数

r = r_1 + r_2 - 1 > 0 のとき、単数群の自由部分を生成する元 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_r$ を基本単数と呼びます。すべての単数は

$$\alpha =\zeta {\epsilon }_1^{a_1}\cdots {\epsilon }_r^{a_r}$$

の形に一意に書けます（$\zeta \in {\mu }_K$、$a_i\in \mathbb{Z}$）。

実二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ では $r=1$ なので基本単数は1つです。ペル方程式 $x^2-d{y}^2=\pm 1$ の最小正整数解から基本単数が得られます。

レギュレーター

単数の対数を使って重要な不変量が定義できます。${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{r_1+r_2}$ を $K$ の埋め込みとし、

$${\lambda }_i(\alpha )=\{\begin{array}{llc}\log |{\sigma }_i(\alpha )|& amp;(i\le r_1)& \\ 2\log |{\sigma }_i(\alpha )|& amp;(i& gt;r_1)\end{array}$$

とおきます。基本単数 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_r$ に対し、

$$R_K=|\det ({\lambda }_i({\epsilon }_j){)}_{1\le i,j\le r}|$$

をレギュレーターと呼びます。$R_K$ は類数公式に現れる重要な量です。

証明のアイデア

証明には対数写像 ${\mathcal{O}}_K^{\times }\to {\mathbb{R}}^{r_1+r_2}$ を考えます。$\alpha \mapsto ({\lambda }_1(\alpha ),\dots ,{\lambda }_{r_1+r_2}(\alpha ))$ の像は、和が $0$ となる超平面内の格子になります。Minkowski の凸体定理を使うと、この格子が階数 $r=r_1+r_2-1$ であることが示せます。