ディリクレの単数定理｜代数的整数論

ディリクレの単数定理は、数体の整数環における可逆元（単数）の構造を完全に記述する定理です。単数群が有限群と自由アーベル群の直積であることを示します。

単数の定義

$K$ を数体、 $O_{K}$ をその整数環とします。 $O_{K}$ の単数とは、 $O_{K}$ 内で可逆な元、すなわち $α \in O_{K}$ で $α^{- 1} \in O_{K}$ となるものです。

単数全体は乗法群をなし、 $O_{K}^{\times}$ または $U_{K}$ と書きます。

ノルムによる特徴付けとして、 $α \in O_{K}$ が単数であることと $N (α) = \pm 1$ であることは同値です。

定理の主張

$K$ を次数 $n$ の数体とし、 $r_{1}$ を実埋め込みの数、 $r_{2}$ を複素埋め込みの対の数とします（ $n = r_{1} + 2 r_{2}$ ）。このとき

$O_{K}^{\times} ≅ μ_{K} \times Z^{r_{1} + r_{2} - 1}$

ここで $μ_{K}$ は $K$ に含まれる1のべき根全体（有限巡回群）です。

$μ_{K}$	$K$ の単位根群（有限巡回群）
$r = r_{1} + r_{2} - 1$	単数群の階数

具体例

いくつかの数体での単数群を見てみます。

Q

$r_{1} = 1$ 、 $r_{2} = 0$ 。 $r = 0$ 。 $Z^{\times} = {\pm 1} ≅ Z /2 Z$ 。

Q (i)

$r_{1} = 0$ 、 $r_{2} = 1$ 。 $r = 0$ 。 $Z [i]^{\times} = {\pm 1, \pm i} ≅ Z /4 Z$ 。

Q (2)

$r_{1} = 2$ 、 $r_{2} = 0$ 。 $r = 1$ 。 $O_{K}^{\times} ≅ {\pm 1} \times Z$ 。基本単数は $1 + 2$ 。

Q (- 5)

$r_{1} = 0$ 、 $r_{2} = 1$ 。 $r = 0$ 。 $O_{K}^{\times} = {\pm 1}$ 。

虚二次体では単数は有限個しかありませんが、実二次体では無限に多くの単数があります。

基本単数

$r = r_1 + r_2 - 1 > 0$ のとき、単数群の自由部分を生成する元 $ε_{1}, \dots, ε_{r}$ を基本単数と呼びます。すべての単数は

$α = ζ ε_{1}^{a_{1}} \dots ε_{r}^{a_{r}}$

の形に一意に書けます（ $ζ \in μ_{K}$ 、 $a_{i} \in Z$ ）。

実二次体 $Q (d)$ では $r = 1$ なので基本単数は1つです。ペル方程式 $x^{2} - d y^{2} = \pm 1$ の最小正整数解から基本単数が得られます。

レギュレーター

単数の対数を使って重要な不変量が定義できます。 $σ_{1}, \dots, σ_{r_{1} + r_{2}}$ を $K$ の埋め込みとし、

$λ_{i} (α) = {lo g ∣ σ_{i} (α) ∣ 2 lo g ∣ σ_{i} (α) ∣ am p; (i \leq r_{1}) am p; (i g t; r_{1})$

とおきます。基本単数 $ε_{1}, \dots, ε_{r}$ に対し、

$R_{K} = ∣ det (λ_{i} (ε_{j}))_{1 \leq i, j \leq r} ∣$

をレギュレーターと呼びます。 $R_{K}$ は類数公式に現れる重要な量です。

虚二次体

$r = 0$ なので $R_{K} = 1$ （空行列の行列式）

実二次体

$R_{K} = lo g ∣ ε ∣$ （ $ε$ は基本単数）

証明のアイデア

証明には対数写像 $O_{K}^{\times} \to R^{r_{1} + r_{2}}$ を考えます。 $α \mapsto (λ_{1} (α), \dots, λ_{r_{1} + r_{2}} (α))$ の像は、和が $0$ となる超平面内の格子になります。Minkowski の凸体定理を使うと、この格子が階数 $r = r_{1} + r_{2} - 1$ であることが示せます。