ディリクレの単数定理：単数群の構造と三次体の基本単数

$32$ の 3 乗は $2$ だから、次の等式が成り立ちます。

$(32 - 1) (34 + 32 + 1) = (32)^{3} - 1 = 1$

$Z [32]$ の元 $1 + 32 + 34$ は同じ環の中に逆元 $32 - 1$ をもつ。このような元を単数と呼びます。

$1 + 32 + 34 \approx 3.847$ の整数乗もすべて単数で、互いに異なる値をとります。それでも $Z [32]$ の単数は $\pm 1$ とこの数の整数乗の積に限られ、単数の群は ${\pm 1} \times Z$ と同じ形になる^[1]。

ディリクレが 1846 年に示した単数定理によると、どの数体でも単数の群は有限巡回群と $Z$ をいくつか並べたものの積になります^[1]。 $Z$ がいくつ並ぶかは体の埋め込みの個数だけで決まる。

単数はノルムで見分ける

数体 $K$ の整数環を $O_{K}$ とします。 $γ \in O_{K}$ が単数であることと $N (γ) = \pm 1$ であることは同値です^[2]。

$γ δ = 1$ となる $δ \in O_{K}$ があれば $N (γ) N (δ) = 1$ で、ノルムはどちらも整数だから $\pm 1$ に限られる。逆に $N (γ)$ は埋め込みごとの像 $n$ 個の積で、 $N (γ) = \pm 1$ なら $γ$ 自身を除いた残りの積が $\pm γ^{- 1}$ に等しくなります。その積は代数的整数どうしの積で、 $γ^{- 1}$ も $O_{K}$ に入る^[2]。

$Q (32)$ では $x^{3} - 2$ の 3 つの根 $θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}$ が互いに共役です。整数 $c$ について $\prod (c - θ_{i}) = c^{3} - 2$ なので、各因数の符号を変えると $N (32 - c) = \prod (θ_{i} - c) = 2 - c^{3}$ になります。

$32$	$c = 0$ にあたり、ノルム $2$ で単数ではない
$1 + 32$	$c = - 1$ にあたり、ノルム $3$ で単数ではない
$32 - 1$	$c = 1$ にあたり、ノルム $1$ の単数
$1 + 32 + 34$	$32 - 1$ の逆元で、ノルム $1$ の単数

定理の主張

$K$ を $n$ 次の数体とします。 $K$ から $C$ への埋め込み $n$ 個のうち、像が実数に収まるものの個数を $r_{1}$ とする。残りは複素共役どうしで組になり、その組の数を $r_{2}$ とすると $n = r_{1} + 2 r_{2}$ です。

$O_{K}^{\times} ≅ μ_{K} \times Z^{r_{1} + r_{2} - 1}$

$μ_{K}$ は $K$ に入る $1$ のべき根の全体で、有限巡回群です^[1]。 $r = r_{1} + r_{2} - 1$ 個の単数 $ε_{1}, \dots, ε_{r}$ があって、どの単数も次の形にただ 1 通りに書けます^[1,3]。

$ζ ε_{1}^{m_{1}} \dots ε_{r}^{m_{r}} (ζ \in μ_{K}, m_{i} \in Z)$

この $ε_{1}, \dots, ε_{r}$ が基本単数で、 $r$ を単数群の階数と呼ぶ。基本単数の選び方は 1 通りではありませんが、階数は体だけで決まります。

$Q (32)$ の実の埋め込みは $32$ を実数の $32$ へ送る 1 つだけで、 $r_{1} = 1$ 。 $ω 32$ と $ω^{2} 32$ へ送る 2 つが 1 組になって $r_{2} = 1$ です（ $ω$ は $1$ の虚数の立方根）。階数は $1 + 1 - 1 = 1$ で、冒頭の $1 + 32 + 34$ が基本単数になる^[1]。

ほかの体の階数と基本単数は次のとおりです^[1]。最後の行の $α$ は $x^{3} - 3 x - 1$ の根を表す。

体	階数	基本単数
$Q (2)$	$2 + 0 - 1 = 1$	$1 + 2$
$Q (32)$	$1 + 1 - 1 = 1$	$1 + 32 + 34$
$Q (ζ_{5})$	$0 + 2 - 1 = 1$	$\frac{1 + 5}{2}$
$Q (42)$	$2 + 1 - 1 = 2$	$1 + 2$ 、 $1 + 42$
$Q (α)$	$3 + 0 - 1 = 2$	$α$ 、 $α + 1$

$r_{1} > 0$ なら $K$ は実数の中に埋め込めるため、 $μ_{K} = {\pm 1}$ です^[1]。 $Q (ζ_{5})$ は実の埋め込みをもたず、 $μ_{K}$ は $10$ 個の $1$ のべき根からなる。階数が $0$ になるのは $r_{1} + r_{2} = 1$ の場合で、 $Q$ と虚二次体だけです^[1]。

例： $1 + 32 + 34$ が基本単数であること

階数 $1$ の三次体では基本単数 $ε > 1$ と判別式 $D$ のあいだに E. Artin の不等式 $∣ D ∣ < 4 ε^{3} + 24$ が成り立ちます^[1]。 $Z [32]$ は $Q (32)$ の整数環で、判別式は $- 108$ です^[1]。

$u = 1 + 32 + 34$ は $1$ より大きい単数なので、正の整数 $k$ を使って $u = ε^{k}$ と書ける。 $k \geq 2$ だとすると、不等式の右辺は $4 ε^{3} + 24 = 4 u^{3/ k} + 24 \leq 4 u^{3/2} + 24$ で抑えられます。

$4 u^{3/2} + 24 \approx 54.2 < 108$

これは Artin の不等式 $108 < 4 ε^{3} + 24$ と食い違い、 $k = 1$ に決まる。 $u$ そのものが基本単数です^[1]。

単数を対数で並べる

単数どうしの積を和に直すため、各埋め込みでの絶対値の対数を並べます^[2]。 $σ_{1}, \dots, σ_{r_{1}}$ を実の埋め込み、 $σ_{r_{1} + 1}, \dots, σ_{r_{1} + r_{2}}$ を複素共役の組から 1 つずつ選んだ埋め込みとする。

$ℓ_{i} (ε) = {lo g ∣ σ_{i} (ε) ∣ 2 lo g ∣ σ_{i} (ε) ∣ (i \leq r_{1}) (i > r_{1})$

これを成分にもつ $L (ε) = (ℓ_{1} (ε), \dots, ℓ_{r_{1} + r_{2}} (ε))$ は積を和に写します。複素の埋め込みで $2$ 倍するのはノルムに $σ (ε) \overline{σ} (ε) = ∣ σ (ε) ∣^{2}$ が入るため。

成分の和は $lo g ∣ N (ε) ∣$ で、単数なら $0$ です。

$ℓ_{1} (ε) + \dots + ℓ_{r_{1} + r_{2}} (ε) = lo g ∣ N (ε) ∣ = 0$

単数の像は成分の和が $0$ になる超平面 $H$ にすべて入る^[2]。 $H$ の次元は $r_{1} + r_{2} - 1$ で、定理の階数と同じ数です。

$Q (2)$ の埋め込みは恒等写像 $σ_{1}$ と、 $2$ を $- 2$ へ送る $σ_{2}$ の 2 つです。単数 $u$ を点 $(σ_{1} (u), σ_{2} (u))$ として描くと、ノルムが $\pm 1$ なので双曲線 $x y = 1$ か $x y = - 1$ に乗る^[1]。 $ε = 1 + 2$ のノルムは $- 1$ で、その整数乗は 2 本の双曲線に交互に並びます。

左では $ε^{k}$ の $∣ k ∣$ が大きいほど点どうしの間隔が開きます。対数をとった右では $L (ε^{k}) = k (0.881, - 0.881)$ となり、直線 $ℓ_{1} + ℓ_{2} = 0$ の上に等間隔で並ぶ。 $0.881$ は $lo g (1 + 2)$ の値です。

1 のべき根だけが 0 に写る

$L (ε) = 0$ となる単数はどの埋め込みでも絶対値が $1$ です。

共役の絶対値がどれも $1$ 以下の $n$ 次以下の代数的整数は有限個しかない^[2]。最小多項式の係数は共役の基本対称式で絶対値に上限があり、しかも整数だからです。

$L$ で $0$ に写る単数は有限群をなし、どれも有限位数だから $1$ のべき根です^[2]。 $Q (i)$ なら $\pm 1$ 、 $\pm i$ の 4 つがそれにあたる。

絶対値が $1$ でも、 $\frac{3 + 4 i}{5}$ のように代数的整数でない数はべきをとっても $1$ になりません^[2]。

$5 x^{2} - 6 x + 5 = 0$ の根で、整数係数に直すと最高次の係数が $5$ になる。

像は格子になる

共役の絶対値に上限をつける同じ議論から、 $H$ の有界な範囲に入る $L (ε)$ も有限個に限られます^[2]。 $L$ の像は $H$ の中の離散的な部分群で、 $Z^{r^{'}}$ と同型になる。ここで $r^{'} \leq r_{1} + r_{2} - 1$ です。

ここまでの議論で独立な単数の個数に $r_{1} + r_{2} - 1$ という上限がつきました。ちょうどその個数だけ単数があることを示すには、ミンコフスキーの凸体定理を使って単数を実際に見つけます^[1,2]。

$i$ を 1 つ決め、 $i$ 番目以外の埋め込みで絶対値が $1$ より小さい単数 $ε_{i}$ を次の手順で探す。

$i$ 番目以外の座標を大きく伸ばし、 $i$ 番目を縮めた格子に凸体定理をあてる

決まった有界集合に入る元 $β \neq = 0$ がとれ、 $∣ N (β) ∣$ は一定の値以下になる

ノルムが一定の値以下の単項イデアルは有限個なので、 $β$ はその生成元の単数倍になる

その単数は伸ばした $i$ 番目以外の埋め込みで絶対値が $1$ より小さい

こうして $i = 1, \dots, r$ について得た $ε_{i}$ の $L$ の値を行にもつ行列から、最後の列を落とした正方行列を考えます。対角成分は正、それ以外は負で、各行の和は落とした成分の符号を変えた値だからこれも正になる^[2]。

対角以外が負で行の和が正の行列は正則です^[2]。 $L (ε_{1}), \dots, L (ε_{r})$ は一次独立で、像の階数は $r_{1} + r_{2} - 1$ に達する。

ディリクレが 1846 年に示したときはミンコフスキーの定理（1889 年）がまだなく、代わりに鳩の巣原理を使っていました^[1]。扱った環は 1 つの代数的整数 $θ$ で生成される $Z [θ]$ の形のもので、整数環の定義が整う前のことです^[2]。

例： $x^{3} - 3 x - 1$ の根が生成する三次体

$α$ を $x^{3} - 3 x - 1$ の根とします。3 つの根 $- 1.532$ 、 $- 0.347$ 、 $1.879$ はすべて実数なので $r_{1} = 3$ 、 $r_{2} = 0$ で、階数は $2$ です^[1]。整数環は $Z [α]$ になる^[1]。

定数項が $- 1$ だから 3 つの根の積は $1$ で、 $α$ はノルム $1$ の単数。 $α + 1$ は $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ の根で、こちらはノルム $- 1$ の単数です^[1]。

埋め込みを根の小さい順に $σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}$ とすると、2 つの単数は $L$ で次の点に写ります^[1]。

$L (α)$	$(0.427, - 1.058, 0.631)$
$L (α + 1)$	$(- 0.631, - 0.427, 1.058)$

どちらも成分の和は $0$ で、正と負の並び方が違うため互いに比例しない。 $α$ と $α + 1$ は乗法的に独立です^[1]。

canvas: 置き場が受け取りませんでした

格子点は正三角形の頂点に並びます。 $Z [α]$ の判別式は $81 = 9^{2}$ で平方数なので、この体はガロア拡大です^[1]。ガロア群は 3 つの実の埋め込みを巡回させる。 $L$ の座標で見ればそのいれかえは $H$ の中の $12 0^{\circ}$ の回転にあたり、格子はこの回転で自分自身に重なります。

ほかの単数も $α$ と $α + 1$ で書けます。 $α^{3} = 3 α + 1$ を使うと $(α - 2) (α + 1)^{2} = - 1$ となり、 $α - 2 = - (α + 1)^{- 2}$ です^[1]。図の $L (α - 2)$ が $L (α + 1)$ の $- 2$ 倍の位置にあるのはこのため。

レギュレーター

基本単数 $ε_{1}, \dots, ε_{r}$ の $L$ の値を行にもつ $r \times (r_{1} + r_{2})$ 行列を考えます。そこから列を 1 つ落とした正方行列の行列式の絶対値を $K$ のレギュレーター $R_{K}$ と呼ぶ^[1]。

各行の和が $0$ なので、どの列を落としても絶対値は同じです^[1]。基本単数を選び直すと行列の左から行列式 $\pm 1$ の整数行列がかかり、やはり値は変わらない^[1]。 $r = 0$ の $Q$ と虚二次体では $R_{K} = 1$ と決めます^[1]。

$Q (2)$ と $Q (32)$ では行列が $1 \times 2$ で、成分は基本単数 $ε > 1$ の $lo g ε$ と $- lo g ε$ です。どちらを残しても $R_{K} = lo g ε$ になる^[1]。

$Q (2)$	$lo g (1 + 2) \approx 0.881$
$Q (32)$	$lo g (1 + 32 + 34) \approx 1.347$
$Q (α)$ 、 $α^{3} = 3 α + 1$	$\approx 0.849$

$H$ の中で格子 $L (O_{K}^{\times})$ の基本領域がもつ体積は $r_{1} + r_{2} R_{K}$ です^[4]。三次体の図に塗った平行四辺形の面積は $3 \times 0.849 \approx 1.471$ にあたる。

独立な単数 $u_{1}, \dots, u_{r}$ から同じように計算した値を $R (u_{1}, \dots, u_{r})$ と書くと、 $R_{K}$ との比は指数になります^[1,2]。

$\frac{R ( u _{1} , \dots , u _{r} )}{R _{K}} = [O_{K}^{\times} : ⟨ μ_{K}, u_{1}, \dots, u_{r} ⟩]$

$Z [2]$ で $3 + 22 = (1 + 2)^{2}$ をとると、 $R (3 + 22) = 2 lo g (1 + 2)$ で指数は $2$ 。 $\pm (3 + 22)^{m}$ の形の単数に $1 + 2$ は含まれません。

例： $α$ と $α + 1$ が基本単数であること

独立な単数の組が基本単数かどうかは $R_{K}$ の下限があれば判定できます。指数は $R (u_{1}, \dots, u_{r}) / R_{K}$ に等しく、下限を使った評価が $2$ より小さければ $1$ に決まる。

総実な三次体については判別式 $D$ を使った次の下限を Cusick が示しています^[1]。

$R_{K} \geq \frac{1}{16} (lo g \frac{D}{4})^{2}$

$Z [α]$ では $D = 81$ を入れて次のようになります。

$[O_{K}^{\times} : ⟨ - 1, α, α + 1 ⟩] = \frac{R ( α , α + 1 )}{R _{K}} \leq \frac{16 \times 0.849}{( lo g 20.25 ) ^{2}} \approx 1.50$

正の整数である指数は $1$ に決まり、 $α$ と $α + 1$ が基本単数になる^[1]。 $Z [α]$ の単数はすべて $\pm α^{m} (α + 1)^{n}$ と書けます。

階数は埋め込みを数えれば決まりますが、基本単数そのものは Artin や Cusick の不等式のような道具で 1 つずつ確かめることになります。

参考

Keith Conrad, *Dirichlet's unit theorem*, University of Connecticut.

J. S. Milne, *Algebraic Number Theory*, Chapter 5: The Unit Theorem.

Dirichlet theorem - Encyclopedia of Mathematics

Théorème des unités de Dirichlet - Wikipédia

$\sqrt[3]{2} - 1$ と $1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ は積が $1$ で、どちらも $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ の単数です。ディリクレの単数定理によると、数体の単数の群は有限巡回群と $\mathbb{Z}^r$ の積で、$r$ は実と複素の埋め込みの個数から決まる。単数はノルムが $\pm 1$ の元で、埋め込みごとの絶対値の対数を並べると和が $0$ の超平面の中で格子をなします。$x^3 - 3x - 1$ の根 $\alpha$ が生成する三次体では格子点が正三角形の頂点に並ぶ。E. Artin の不等式で $1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ を、Cusick によるレギュレーターの下限で $\alpha$ と $\alpha + 1$ を基本単数と確かめる計算まで。