中山の補題（Nakayama's lemma）は可換環論における最も重要な技術的道具の一つである。局所環上の有限生成加群を扱う際...

局所体と大域体は代数的整数論において相補的な役割を果たします。大域的な問題を局所的に分析し、それらを統合するアプローチが強力な道...

様相論理（modal logic）は、「必然性」と「可能性」を形式化する論理体系です。古典述語論理を拡張して、「必ず〜である」「...

決定可能性（decidability）は、問題を機械的に解けるかどうかを問う概念です。記号論理学と計算理論が交わる重要なテーマで...

ベクトルとは、向きと大きさを持つ量のことです。図形的には矢印として描かれます。力や速度のように「どちらの方向にどれだけ」という情...

指数関数 $a^x$ の極限は、底 $a$ の値によって振る舞いが大きく変わります。まずは基本的な性質を整理しておきましょう。 ...

ゲーデルの第二不完全性定理は、第一不完全性定理をさらに深化させた結果です。十分に強い理論は、自分自身の無矛盾性を証明できないこと...

1次不定方程式とは、$ax + by = c$（$a, b, c$ は整数の定数）の形をした方程式で、整数解 $(x, y)$ ...

$p$ 進数は有理数を「$p$ で何回割れるか」という視点で完備化したもので、局所的な解析を可能にする重要な道具です。 $p$ ...

加群の長さは、加群の「大きさ」を測る不変量の一つである。有限次元ベクトル空間の次元を一般化した概念といえる。 組成列の定義 $R...

正の整数 $x, y, z$ を用いて、$N = 9z^2 = x^6 + y^4$ と表される正の整数 $N$ の最小値を求め...

投げたときに表と裏の出る確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ のコインがある。A, B, C の 3 文字を BAC の...

自然数 $1, 2, 3, \ldots, n$ のうち、$n$ と互いに素であるものの個数を $f(n)$ とする。 (1) ...

2021 年の京都大学理系数学（前期）第 3 問で出題された無限級数の問題です。複素数を使う解法と、加法定理で連立させる解法の ...

2023 年の京都大学（理系）前期日程の第 1 問は、(1) 定積分の計算、(2) 整式の剰余を求める問題でした。どちらも基本的...

2024 年の京都大学・文系数学で出題された立方体の塗り分け問題。初等的な数え上げによる解法と、大学で学ぶ「彩色多項式」を使った...

単項イデアル整域（PID）は「すべてのイデアルが一つの元で生成される」という非常に扱いやすい性質をもつ環です。整数環 $\mat...

ゲーデルの第一不完全性定理は、1931年にクルト・ゲーデルが証明した、数学史上最も重要な結果の一つです。十分に強い形式的体系は、...

単数群の具体的な構造、特に基本単数の計算方法と実例を詳しく見ていきます。 二次体の単数群 二次体 $K = \mathbb{Q}...

ディリクレの単数定理は、数体の整数環における可逆元（単数）の構造を完全に記述する定理です。単数群が有限群と自由アーベル群の直積で...

類数公式は、数体の類数を解析的なデータから計算する公式です。デデキントゼータ関数の $s = 1$ での振る舞いと類数を結びつけ...

Artin 環とは、イデアルの降鎖条件（DCC）を満たす環のことである。ネーター環が昇鎖条件（ACC）を満たすのに対し、Arti...

偏微分方程式（PDE）は、複数の独立変数をもつ未知関数についての方程式です。2階線形偏微分方程式は、その係数に応じて3つのタイプ...

形式的体系（formal system）は、証明を数学的対象として厳密に定義するための枠組みです。何が公理であり、どのような規則...