無限級数 Σ(1/2)^n cos(nπ/6) の和を求める｜2021 京大理系

2021 年の京都大学理系数学（前期）第 3 問で出題された無限級数の問題です。複素数を使う解法と、加法定理で連立させる解法の 2 通りを紹介します。

問題

無限級数

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\cos \frac{n\pi }{6}$$

の和を求めよ。

解法 1：複素数を使う

$z=\frac{1}{2}{e}^{i\frac{\pi }{6}}$ とおきます。オイラーの公式より

$$e^{i\frac{n\pi }{6}}=\cos \frac{n\pi }{6}+i\sin \frac{n\pi }{6}$$

なので

$$z^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n{e}^{i\frac{n\pi }{6}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\left(\cos \frac{n\pi }{6}+i\sin \frac{n\pi }{6}\right)$$

したがって

$$\mathrm{Re}(z^n)={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\cos \frac{n\pi }{6}$$

が成り立ちます。$|z|=\frac{1}{2}<1$ より級数 $\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n$ は収束し、

$$\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n=\frac{1}{1-z}$$

となります。収束する級数では「実部の和 = 和の実部」が成り立つので、

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\cos \frac{n\pi }{6}=\sum _{n=0}^{\infty }\mathrm{Re}(z^n)=\mathrm{Re}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n\right)=\mathrm{Re}\left(\frac{1}{1-z}\right)$$

あとは $\frac{1}{1-z}$ の実部を求めるだけです。$e^{i\frac{\pi }{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$ を代入すると、

$$1-z=1-\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)=\frac{4-\sqrt{3}}{4}-\frac{i}{4}$$

逆数を取り、分母の複素共役をかけて実数化します。

$$\frac{1}{1-z}=\frac{1}{\frac{4-\sqrt{3}}{4}-\frac{i}{4}}=\frac{4}{(4-\sqrt{3})-i}=\frac{4\{(4-\sqrt{3})+i\}}{(4-\sqrt{3}{)}^2+1}$$

分母を計算すると $(4-\sqrt{3}{)}^2+1=16-8\sqrt{3}+3+1=20-8\sqrt{3}$ なので、

$$\frac{1}{1-z}=\frac{4(4-\sqrt{3})+4i}{20-8\sqrt{3}}$$

実部は

$$\frac{4(4-\sqrt{3})}{20-8\sqrt{3}}=\frac{4-\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}}$$

分母を有理化して、

$$\frac{(4-\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})}{(5-2\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})}=\frac{20+8\sqrt{3}-5\sqrt{3}-6}{25-12}=\frac{14+3\sqrt{3}}{13}$$

よって答えは $\frac{14+3\sqrt{3}}{13}$ です。

解法 2：加法定理で連立させる

$r=\frac{1}{2}$、$\theta =\frac{\pi }{6}$ として、

$$S=\sum _{n=0}^{\infty }{r}^n\cos n\theta ,C=\sum _{n=0}^{\infty }{r}^n\sin n\theta$$

とおきます。求めたいのは $S$ の値です。

$rS$ を変形していきます。

$$rS=\sum _{n=0}^{\infty }{r}^{n+1}\cos n\theta =\sum _{m=1}^{\infty }{r}^m\cos (m-1)\theta$$

加法定理 $\cos (m-1)\theta =\cos m\theta \cos \theta +\sin m\theta \sin \theta$ を使うと、

$$rS=\cos \theta \sum _{m=1}^{\infty }{r}^m\cos m\theta +\sin \theta \sum _{m=1}^{\infty }{r}^m\sin m\theta =\cos \theta (S-1)+\sin \theta \cdot C$$

整理すると

$$S(r-\cos \theta )-C\sin \theta =-\cos \theta \cdots (1)$$

同様に $rC$ を計算します。$\sin (m-1)\theta =\sin m\theta \cos \theta -\cos m\theta \sin \theta$ より、

$$rC=\cos \theta \cdot C-\sin \theta (S-1)$$

整理すると

$$S\sin \theta +C(r-\cos \theta )=\sin \theta \cdots (2)$$

ここで $r=\frac{1}{2}$、$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta =\frac{1}{2}$ を代入します。$r-\cos \theta =\frac{1-\sqrt{3}}{2}$ なので、(1)(2) の両辺を 2 倍すると

$$(1):S(1-\sqrt{3})-C=-\sqrt{3}$$

$$(2):S+C(1-\sqrt{3})=1$$

(1) より $C=S(1-\sqrt{3})+\sqrt{3}$ を (2) に代入します。

$$S+\{S(1-\sqrt{3})+\sqrt{3}\}(1-\sqrt{3})=1$$

$$S+S(1-\sqrt{3}{)}^2+\sqrt{3}(1-\sqrt{3})=1$$

$(1-\sqrt{3}{)}^2=4-2\sqrt{3}$、$\sqrt{3}(1-\sqrt{3})=\sqrt{3}-3$ を代入すると、

$$S(1+4-2\sqrt{3})+\sqrt{3}-3=1$$

$$S(5-2\sqrt{3})=4-\sqrt{3}$$

$$S=\frac{4-\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}}$$

分母を有理化すると、

$$S=\frac{(4-\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})}{(5-2\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})}=\frac{20+8\sqrt{3}-5\sqrt{3}-6}{25-12}=\frac{14+3\sqrt{3}}{13}$$

よって答えは $\frac{14+3\sqrt{3}}{13}$ です。

この問題の背景

解法 1 の考え方を一般化すると、$|r|<1$ のとき

$$\sum _{n=0}^{\infty }{r}^n\cos n\theta =\mathrm{Re}\left(\frac{1}{1-r{e}^{i\theta }}\right)$$

という公式が得られます。右辺を計算すると、

$$\frac{1}{1-r{e}^{i\theta }}=\frac{1}{(1-r\cos \theta )-ir\sin \theta }=\frac{(1-r\cos \theta )+ir\sin \theta }{(1-r\cos \theta {)}^2+r^2{\sin }^2\theta }$$

分母は $1-2r\cos \theta +r^2$ に整理されるので、

$$\sum _{n=0}^{\infty }{r}^n\cos n\theta =\frac{1-r\cos \theta }{1-2r\cos \theta +r^2}$$

同様に

$$\sum _{n=0}^{\infty }{r}^n\sin n\theta =\frac{r\sin \theta }{1-2r\cos \theta +r^2}$$

が成り立ちます。今回の問題は $r=\frac{1}{2}$、$\theta =\frac{\pi }{6}$ という特殊ケースでした。

この形の級数は調和解析において重要な役割を果たします。特に、$r\to 1$ の極限を考えるとポアソン核

$$P_r(\theta )=\frac{1-r^2}{1-2r\cos \theta +r^2}$$

が現れます。ポアソン核は、円板上の調和関数を境界値から復元するときに使われる基本的な道具です。単位円周上で与えられた関数 $f(\theta )$ に対し、

$$u(r,\theta )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{P}_r(\theta -t)f(t)dt$$

は円板内部で調和関数となり、$r\to 1$ で境界値 $f(\theta )$ に収束します。京大の出題は、こうした解析学の入口に立つ問題だったといえます。