単数群の構造 - 代数的整数論

単数群の具体的な構造、特に基本単数の計算方法と実例を詳しく見ていきます。

二次体の単数群

二次体 $K = Q (d)$ の単数群は最も具体的に計算できます。

虚二次体（ $d < 0$ ）の場合、単数群は有限です。

$d = - 1$	${\pm 1, \pm i}$ （位数4）
$d = - 3$	${\pm 1, \pm ω, \pm ω^{2}}$ （位数6、 $ω = \frac{- 1 + - 3}{2}$ ）
その他	${\pm 1}$ （位数2）

$d = - 1, - 3$ 以外の虚二次体では、単数は $\pm 1$ のみです。これは $∣ N (α) ∣ = 1$ を満たす $α \in O_{K}$ が限られるためです。

実二次体とペル方程式

実二次体 $K = Q (d)$ （ $d > 0$ ）では、単数群は ${\pm 1} \times ⟨ ε ⟩$ の形で、 $ε$ は無限位数の基本単数です。

基本単数はペル方程式

$x^{2} - d y^{2} = \pm 1 (x, y \in Z)$

の最小正解から得られます。 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ のとき $(x_{0}, y_{0})$ が最小正解なら $ε = x_{0} + y_{0} d$ です。

d = 2

$1^{2} - 2 \cdot 1^{2} = - 1$ より $ε = 1 + 2$ 。

d = 3

$2^{2} - 3 \cdot 1^{2} = 1$ より $ε = 2 + 3$ 。

d = 5

$\frac{1 + 5}{2}$ が基本単数（黄金比）。 $N (ε) = - 1$ 。

d = 7

$8^{2} - 7 \cdot 3^{2} = 1$ より $ε = 8 + 37$ 。

連分数による計算

$d$ の連分数展開を使うと、ペル方程式の最小解が系統的に得られます。 $d = [a_{0}; \overline{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}}]$ と周期的連分数で表されるとき、周期の最後の収束分子・分母が解を与えます。

例えば $2 = [1; \overline{2}]$ から、収束列は $1, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \dots$ となり、 $1^{2} - 2 \cdot 1^{2} = - 1$ 、 $3^{2} - 2 \cdot 2^{2} = 1$ が確認できます。

単数のノルム

基本単数 $ε$ のノルム $N (ε)$ は $+ 1$ か $- 1$ のどちらかです。

N (ε) = - 1

$ε$ のすべての奇数乗がノルム $- 1$ 。 $x^{2} - d y^{2} = - 1$ が可解。

N (ε) = 1

$x^{2} - d y^{2} = - 1$ は不可解。すべての単数のノルムは $+ 1$ 。

$N (ε) = - 1$ となるのは $d$ がある条件を満たすときに限られます。例えば $d$ が素数で $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $N (ε) = - 1$ となります。

円分体の単数群

$p$ を奇素数、 $K = Q (ζ_{p})$ を $p$ 乗円分体とします。 $[K : Q] = p - 1$ で、 $r_{1} = 0$ 、 $r_{2} = \frac{p - 1}{2}$ なので $r = \frac{p - 1}{2} - 1 = \frac{p - 3}{2}$ です。

単位根群は $μ_{K} = ⟨ ζ_{p} ⟩ ≅ Z /2 p Z$ （ $- 1$ と $ζ_{p}$ で生成）。

円単数と呼ばれる特別な単数

$\eta_a = \frac{1 - \zeta_p^a}{1 - \zeta_p} \quad (1 < a < p)$

が基本単数の候補を与えます。円単数と基本単数の関係は深く、類数公式と結びついています。

高次体の単数

次数が高くなると単数群の階数も大きくなり、基本単数の計算は困難になります。実用的には LLL アルゴリズムなどの格子基底簡約を使って、小さいノルムの元を見つけます。

計算代数ソフトウェア（PARI/GP、SageMath など）には単数群を計算する機能が実装されています。