単数群の階数は実埋め込みと複素埋め込みの個数だけで決まる

$Z$ の可逆元は $\pm 1$ の $2$ 個で終わりです。 $Z [2]$ に移ると $1 + 2$ が可逆になり、そのべきが無限に並びます。

有限か無限かを分けるのは埋め込みの個数だけです。ディリクレが 1846 年に決着をつけました^[1]。

階数は埋め込みの個数で決まる

$K$ を数体、 $r_{1}$ を実埋め込みの個数、 $2 r_{2}$ を複素埋め込みの個数とします。単数群の構造は次のとおり^[1]。

$O_{K}^{\times} ≅ μ_{K} \times Z^{r}, r = r_{1} + r_{2} - 1$

$μ_{K}$ は $K$ に入る $1$ のべき根の全体で、有限巡回群です。無限位数の生成元を $r$ 個選んだものを基本単数と呼びます^[1]。

どの単数も $ζ ε_{1}^{m_{1}} \dots ε_{r}^{m_{r}}$ という形に、しかも一意に書けます^[1]。指数が一意に決まる点が、乗法的独立という言葉の中身です。

$K$	$r_{1}$ と $r_{2}$	階数 $r$
$Q$	$1, 0$	$0$
虚二次体	$0, 1$	$0$
実二次体	$2, 0$	$1$
複素三次体	$1, 1$	$1$
総実三次体	$3, 0$	$2$
$Q (ζ_{p})$	$0, \frac{p - 1}{2}$	$\frac{p - 3}{2}$

$r \leq n - 1$ が常に成り立ち、等号は $r_{2} = 0$ 、つまり総実な体のときだけです^[1]。

有限になるのは 2 種類しかない

$r = 0$ になるのは $r_{1} + r_{2} = 1$ のときで、 $(r_{1}, r_{2})$ が $(1, 0)$ か $(0, 1)$ に限られます^[1]。前者は $Q$ 、後者は虚二次体です。

虚二次体では単数がノルム $1$ の元、つまり複素平面で絶対値 $1$ の格子点に限られます。単位円の上にある格子点は有限個しかない。

$Q (i)$	${\pm 1, \pm i}$ の $4$ 個
$Q (- 3)$	${\pm 1, \pm ω, \pm ω^{2}}$ の $6$ 個
それ以外の虚二次体	${\pm 1}$ の $2$ 個

$r_{1} > 0$ なら $μ_{K} = {\pm 1}$ です^[1]。実数体の中に $\pm 1$ 以外の $1$ のべき根がないためです。

対数をとると格子になる

構造定理の証明は、単数を対数の空間へ写すところから始まります。 $ε \mapsto (lo g ∣ σ_{1} (ε) ∣, \dots, lo g ∣ σ_{r_{1} + r_{2}} (ε) ∣)$ と対応させる。

ノルムが $\pm 1$ という条件が、成分の和が $0$ という条件に変わります。だから像は $r_{1} + r_{2} - 1$ 次元の超平面に入る。

像が完全な格子になることを示せば、定理が出ます。この行列式がレギュレーターで、類数公式に現れる量と同じものです。

実二次体はペル方程式そのもの

実二次体では $r = 1$ なので、基本単数 $ε > 1$ が $1$ つ決まります。 $ε^{n}$ が全部の単数を尽くす。

$d \equiv 2, 3 (mod 4)$ のときは $O_{K} = Z [d]$ なので、単数は $x^{2} - d y^{2} = \pm 1$ の解と $1$ 対 $1$ に対応します^[2]。ペル方程式の最小解が基本単数です。

$d \equiv 1 (mod 4)$ では $\frac{x + y d}{2}$ の形も許されるので、 $x^{2} - d y^{2} = \pm 4$ を解くことになります。

$d$	基本単数	ノルム
$2$	$1 + 2$	$- 1$
$3$	$2 + 3$	$+ 1$
$5$	$\frac{1 + 5}{2}$	$- 1$
$6$	$5 + 26$	$+ 1$
$7$	$8 + 37$	$+ 1$
$13$	$\frac{3 + 13}{2}$	$- 1$
$61$	$\frac{39 + 5 61}{2}$	$- 1$

$d$ が小さくても基本単数が急に大きくなります。 $d = 7$ で $8 + 37 \approx 15.94$ 、 $d = 61$ で $\frac{39 + 5 61}{2} \approx 39.03$ 。

$ε = 2 + 3$ はノルム $+ 1$ なので、そのべきがそのまま $x^{2} - 3 y^{2} = 1$ の解になります。 $(2, 1)$ 、 $(7, 4)$ 、 $(26, 15)$ 、 $(97, 56)$ と続く。

ノルムが $- 1$ になるかどうか

基本単数のノルムは $+ 1$ か $- 1$ のどちらかです。ここで $x^{2} - d y^{2} = - 1$ が解けるかどうかが決まります。

N (ε) = - 1

奇数乗のノルムが $- 1$ になる。 $x^{2} - d y^{2} = - 1$ に解がある

N (ε) = + 1

すべての単数のノルムが $+ 1$ 。 $x^{2} - d y^{2} = - 1$ は解けない

$d = 3$ では $N (ε) = + 1$ なので、 $x^{2} - 3 y^{2} = - 1$ には解がありません。 $3$ を法として見ると $x^{2} \equiv - 1$ が要りますが、 $- 1$ は $3$ を法とする平方剰余ではない。

$d = 5$ や $d = 13$ のように $d$ が $4$ で割って $1$ 余る素数のときは、 $N (ε) = - 1$ になります。表の $5$ 、 $13$ 、 $61$ がその例です。

大きさに規則はない

$d = 61$ で $ε = \frac{39 + 5 61}{2}$ は $39$ ほどですが、ノルムが $- 1$ なので $x^{2} - 61 y^{2} = 1$ を解くには $2$ 乗が要ります。

その最小解が $x = 1766319049$ 、 $y = 226153980$ です。 $d$ が $61$ という小さい数なのに、解は $10$ 桁になる。

基本単数の大きさは $d$ に対してまったく単調でない。

$d = 62$ なら $ε = 63 + 862$ で収まるのに、 $61$ では $2$ 乗した先が $10$ 桁になる。

円分体の単数

$K = Q (ζ_{p})$ では $r_{1} = 0$ 、 $r_{2} = \frac{p - 1}{2}$ なので階数は $\frac{p - 3}{2}$ です^[1]。 $1$ のべき根は $\pm ζ_{p}^{k}$ で、位数 $2 p$ の巡回群になります。

具体的に書ける単数として円単数があります。 $g cd (a, p) = 1$ のとき $\frac{1 - ζ _{p}^{a}}{1 - ζ _{p}}$ が単数になる^[3]。

円単数のなす部分群の指数が、実部分体の類数と一致します。単数の情報が類数に直結する例です。

総実三次体（実埋め込みが $3$ つの $3$ 次体）の単数群の階数はいくつですか。

__RESULT__

$r_{1} = 3$ 、 $r_{2} = 0$ なので $r = r_{1} + r_{2} - 1 = 2$ です。基本単数を $2$ つとると、すべての単数が $\pm ε_{1}^{m} ε_{2}^{n}$ の形に一意に書けます。

有限か無限か、無限ならいくつの生成元が要るか。この $2$ つの問いに、埋め込みを数えるだけで答えが出ます。

出典

Keith Conrad, *Dirichlet's unit theorem*, University of Connecticut

Pell equation - Encyclopedia of Mathematics

C M Ringel, *Algebraische Zahlentheorie, Teil III: Kreisteilungskörper*, Universität Bielefeld

$\mathcal{O}_K^\times \cong \mu_K \times \mathbb{Z}^{r}$ で $r = r_1 + r_2 - 1$。ディリクレが 1846 年に示した形です。$r = 0$ になるのは $\mathbb{Q}$ と虚二次体だけで、それ以外はすべて無限になる。対数をとると単数群は超平面の中の格子として見え、その体積がレギュレーターです。実二次体ではペル方程式の最小解が基本単数で、$d = 2, 3, 5, 7, 13, 61$ の表つき。$d = 61$ は $\varepsilon$ が $39$ ほどなのに $x^2 - 61y^2 = 1$ の最小解が $1766319049$ まで飛びます。