イデアル類群と類数 - 代数的整数論

イデアル類群は整数環が「どれだけ PID から離れているか」を測る群であり、その位数である類数は代数的整数論の中心的な不変量です。

類群の定義

$K$ を数体、${\mathcal{O}}_K$ をその整数環とします。非零分数イデアル全体 ${\mathcal{I}}_K$ は積について群をなします。その中で単項分数イデアル全体 ${\mathcal{P}}_K=\{(\alpha )\mid \alpha \in K^{\times }\}$ は部分群です。

商群

$${\mathrm{Cl}}_K={\mathcal{I}}_K/{\mathcal{P}}_K$$

をイデアル類群（または単に類群）と呼びます。2つのイデアル $I,J$ が同じ類に属することと、ある $\alpha \in K^{\times }$ が存在して $I=(\alpha )J$ となることは同値です。

類数の定義

類群 ${\mathrm{Cl}}_K$ の位数を類数と呼び、$h_K$ と書きます。

$$h_K=|{\mathrm{Cl}}_K|$$

類数は有限であることが知られています（デデキント整域の基本定理）。

類数 $1$ の意味

$h_K=1$ は ${\mathcal{O}}_K$ がPID であることと同値です。この場合、元の素因数分解の一意性が成り立ちます。

PID でなくても、デデキント整域ではイデアルの素イデアル分解は常に一意です。類数は「元の分解とイデアルの分解のずれ」を測っています。

虚二次体の類数

虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$（d < 0）の類数 $1$ となる $d$ は有限個しかありません。

これは19世紀から知られていた予想で、1967年にスターク、ヒーグナーらにより証明されました。

実二次体の類数

実二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$（d > 0）では状況が異なります。類数 $1$ となる $d$ は無限に存在すると予想されていますが、証明されていません。

小さい $d$ での例：

類数の計算

具体的な類数の計算には Minkowski の限界が役立ちます。ノルムが $M_K$ 以下の素イデアルがすべての類を生成するため、これらの素イデアルの関係を調べれば類群が決定できます。

例えば $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ では $M_K\approx 2.8$ なので、$N(\mathfrak{p})\le 2$ の素イデアルを調べます。$(2)=(2,1+\sqrt{-5}{)}^2$ より、$\mathfrak{p}=(2,1+\sqrt{-5})$ は非単項で ${\mathfrak{p}}^2$ が単項です。よって類群は位数 $2$ の巡回群であり、$h_K=2$ です。

類体論との関係

類群はガロア理論的にも重要な意味を持ちます。$K$ のヒルベルト類体 $H$ は $K$ 上の最大不分岐アーベル拡大であり、$\mathrm{Gal}(H/K)\cong {\mathrm{Cl}}_K$ が成り立ちます。