楕円型・放物型・双曲型はどこで分かれるか｜偏微分方程式の分類

偏微分方程式には、常微分方程式のような統一的な解法がありません。かわりに方程式を型に分け、型ごとに理論を組み立てる^[1]。

分け方の軸は 2 つ。階数と線形性でまず分け、2 階線形についてはさらに楕円型・放物型・双曲型に分ける^[2]。

後者は係数から計算できる 1 つの数で決まります。その数が判別式です。

最高階の導関数がどう現れるか

線形性の分け方は、最高階の導関数の現れ方で 4 段階になる^[2]。

線形。未知関数とその導関数がすべて 1 次で、係数は場所だけの関数。

半線形。最高階だけが 1 次で、それより低い階には非線形が混ざる。

準線形。最高階も 1 次だが、その係数に未知関数や低階の導関数が入る。

完全非線形。最高階の導関数について非線形。

境目はいつも最高階のところにある。低い階が汚れていても、最高階が 1 次なら扱いは大きく変わらない。

例：4 段階を見分ける

代表的な方程式を並べます。 $u$ が未知関数です。

方程式	分類
$u_{xx} + u_{y y} = 0$	線形
$u_{xx} + u_{y y} = u^{3}$	半線形
$u_{t} + u u_{x} = 0$	準線形
$u_{xx} u_{y y} - u_{x y}^{2} = f$	完全非線形

3 番目のバーガース方程式は、 $u_{x}$ の係数が $u$ そのもの。最高階は 1 次でも、係数に未知関数が入るので準線形です。

4 番目のモンジュ・アンペール方程式では、2 階の導関数どうしが掛かっている^[2]。ここまで来ると線形の理論は届かない。

判別式で 3 つに分かれる

2 階の線形偏微分方程式を、2 変数で次の形に書きます^[4]。

$A u_{xx} + 2 B u_{x y} + C u_{y y} + D u_{x} + E u_{y} + F u = G$

型を決めるのは最高階の 3 項だけです。判別式を次で定めます。

$Δ = B^{2} - A C$

$Δ < 0$ なら楕円型、 $Δ = 0$ なら放物型、 $Δ > 0$ なら双曲型^[1,4]。 $D$ 以降の項は型に関わらない。

混合項の係数を $2 B$ と書いている点が落とし穴です。 $B$ ではなく $2 B$ と置く流儀なので、 $u_{x y}$ の係数をそのまま $B$ に入れると符号や大きさがずれる。

名前は円錐曲線から借りている

楕円・放物・双曲という名前は、方程式の振る舞いを表したものではありません。同じ係数を持つ二次曲線の分類から借りた呼び名です。

$A x^{2} + 2 B x y + C y^{2} + \dots = 0$ が描く曲線は、 $B^{2} - A C$ の符号で楕円・放物線・双曲線に分かれる。導関数を変数に置き換えると、そのまま対応が付く。

名前から解の性質を読もうとしても手がかりにならない。性質のほうは、型ごとに別に覚えることになる。

例：3 つの代表方程式を判定する

ラプラス方程式 $u_{xx} + u_{y y} = 0$ では $A = 1$ 、 $B = 0$ 、 $C = 1$ です。

$Δ = 0^{2} - 1 \cdot 1 = - 1 < 0$

楕円型と分かります。熱方程式 $u_{t} = k u_{xx}$ は、変数を $x$ と $t$ にとって $k u_{xx} - u_{t} = 0$ と書く。

$u_{tt}$ の項がないので $C = 0$ で、 $A = k$ 、 $B = 0$ です。

$Δ = 0^{2} - k \cdot 0 = 0$

放物型になる。波動方程式 $u_{tt} = c^{2} u_{xx}$ では $A = c^{2}$ 、 $B = 0$ 、 $C = - 1$ です。

$Δ = 0^{2} - c^{2} \cdot (- 1) = c^{2} > 0$

双曲型と決まります。3 つの代表例が 3 つの型にきれいに 1 つずつ対応している^[4]。

係数行列の固有値で見る

判別式の言いかえとして、係数を対称行列に並べる見方がある^[2]。 $a u_{xx} + b u_{x y} + c u_{y y}$ に対して次を作る。

$M = (a b /2 b /2 c)$

$det M = a c - b^{2} /4$ なので、判別式のちょうど符号違いです。行列が正定値か負定値なら楕円型、特異なら放物型、不定符号なら双曲型になる。

固有値で言えば、すべて同符号なら楕円型、 $1$ つが $0$ で残りが同符号なら放物型、 $1$ つだけ符号が違うなら双曲型。この形なら 3 変数以上へそのまま伸びる。

例：3 変数の方程式を判定する

$u_{xx} + u_{y y} - u_{z z} = 0$ を考えます。係数行列は対角行列で、成分は $1$ 、 $1$ 、 $- 1$ 。

固有値のうち $1$ つだけ符号が違うので双曲型です。 $z$ を時刻と読めば、これは 2 次元の波動方程式そのもの。

$u_{xx} + u_{y y} + u_{z z} = 0$ なら固有値がすべて $1$ で楕円型。3 次元のラプラス方程式にあたる。

型は場所によって変わる

係数が定数とは限らない。 $A$ 、 $B$ 、 $C$ が場所の関数なら、判別式も場所の関数になる^[2]。

トリコミ方程式 $y u_{xx} + u_{y y} = 0$ がその例です。 $A = y$ 、 $B = 0$ 、 $C = 1$ なので $Δ = - y$ 。

上半平面では楕円型、下半平面では双曲型、 $y = 0$ の直線上だけ放物型になる。1 つの方程式が場所によって顔を変える。

特性曲線の本数で言いかえる

同じ 3 分類を、特性曲線の本数で述べることもできる。特性曲線とは、その上で偏微分方程式が常微分方程式に化ける曲線のこと^[5]。

2 階の場合、特性曲線の傾き $λ = d y / d x$ は次の 2 次方程式で決まる。

$A λ^{2} - 2 B λ + C = 0$

解の公式から $λ = \frac{B \pm B ^{2} - A C}{A}$ です。根号の中身が、そのまま判別式になっている。

だから実数の特性曲線は、双曲型で 2 系統、放物型で 1 系統、楕円型では存在しない。判別式の 3 つの場合が、根の個数の 3 つの場合に対応する。

型ごとに解の性格が違う

双曲型では、初期条件の飛びが特性曲線に沿って先まで運ばれる^[1]。角のある波はいつまでも角を保つ。

放物型と楕円型では逆に、解がなめらかになる。熱方程式に角のある初期温度を与えても、次の瞬間には丸まっている^[3]。

双曲型

不連続が消えずに伝わる。情報が有限の速さで進み、影響が届く範囲が特性曲線で区切られる。

放物型と楕円型

解がただちになめらかになる。熱方程式では影響が形のうえでは瞬時に全体へ広がる。

この違いは数値計算の作り方にも響く。双曲型では流れの向きに合わせた差分をとり、楕円型では領域全体を一度に解く。

型に合う条件を選ぶ

条件の与え方も型で決まります。楕円型は時間を含まない定常問題なので、境界の全周で値を指定する境界値問題になる^[3]。

放物型と双曲型には時間方向があるため、初期条件と境界条件を組み合わせる。熱方程式なら初期温度と両端の温度、波動方程式なら初期の形と初速。

組み合わせを誤ると、解が存在しなかったり、条件の小さな誤差が解を大きく揺らしたりする。適切に立っている問題という言い方は、この不都合を除くための条件です^[1]。

問題 1：判別式で型を答える

次の 4 つの型を判定せよ。

u_{xx} + 4 u_{x y} + 4 u_{y y} = 0

。

3 u_{xx} - u_{y y} = 0

。

u_{xx} + u_{x y} + u_{y y} = 0

。

u_{x y} = 0

。

解答 1

1 番目は $2 B = 4$ なので $B = 2$ 、 $A = 1$ 、 $C = 4$ です。 $Δ = 4 - 4 = 0$ で放物型。

2 番目は $A = 3$ 、 $B = 0$ 、 $C = - 1$ となり $Δ = 0 + 3 = 3 > 0$ 。双曲型です。

3 番目は $2 B = 1$ から $B = \frac{1}{2}$ で、 $Δ = \frac{1}{4} - 1 < 0$ 。楕円型になる。

4 番目は $A = C = 0$ 、 $2 B = 1$ です。 $Δ = \frac{1}{4} > 0$ で双曲型。 $u_{x y} = 0$ の一般解が $f (x) + g (y)$ と 2 本の任意関数で書ける形も、双曲型らしい振る舞いです。

問題 2：混合項の係数に気をつける

$u_{xx} + 6 u_{x y} + 5 u_{y y} = 0$ の型を判定せよ。

解答 2

$2 B = 6$ なので $B = 3$ です。 $A = 1$ 、 $C = 5$ 。

$Δ = 3^{2} - 1 \cdot 5 = 4 > 0$

双曲型になります。 $B = 6$ と読み違えると $Δ = 31$ となり、型の判定自体は変わりませんが値が合わない。

$u_{xx} + 2 u_{x y} + 5 u_{y y} = 0$ なら $B = 1$ で $Δ = 1 - 5 = - 4 < 0$ 、楕円型です。混合項を $2 B$ と置いたことを忘れると、ここで結論が反転する。

問題 3：型が変わる方程式

$x u_{xx} + u_{y y} = 0$ について、平面のどこがどの型になるかを述べよ。

解答 3

$A = x$ 、 $B = 0$ 、 $C = 1$ なので $Δ = - x$ です。

$x > 0$ では $Δ < 0$ で楕円型、 $x < 0$ では $Δ > 0$ で双曲型になる。 $x = 0$ の直線上が放物型です。

トリコミ方程式の $y$ を $x$ に置き換えた形。境目が縦の直線に変わっただけで、構造は同じです。

問題 4：特性曲線を求める

$u_{xx} - 4 u_{y y} = 0$ の特性曲線を求めよ。

解答 4

$A = 1$ 、 $B = 0$ 、 $C = - 4$ です。特性方程式は $λ^{2} - 4 = 0$ 。

$λ = \frac{d y}{d x} = \pm 2$

積分すると $y = 2 x + c_{1}$ と $y = - 2 x + c_{2}$ の 2 系統が出ます。 $Δ = 4 > 0$ の双曲型なので、実の特性が 2 本という結論と合う。

この 2 方向に沿って、波が形を保ったまま進む。

問題 5：線形性の段階を答える

次の 3 つを、線形・半線形・準線形・完全非線形のどれかに分けよ。

u_{t} + c u_{x} = 0

。

u_{t} + u_{x} = u^{2}

。

(1 + u_{x}^{2}) u_{y y} - 2 u_{x} u_{y} u_{x y} = 0

。

解答 5

1 番目は線形です。 $u$ と $u_{x}$ 、 $u_{t}$ がすべて 1 次で、係数は定数。

2 番目は半線形になる。最高階の $u_{t}$ と $u_{x}$ は 1 次のままで、非線形は右辺の $u^{2}$ にしかありません。

3 番目は準線形です。最高階は $u_{y y}$ と $u_{x y}$ で、どちらも 1 次。ただし係数に $u_{x}$ と $u_{y}$ が入っています。

問題 6：条件の組み合わせを選ぶ

正方形の領域でラプラス方程式 $u_{xx} + u_{y y} = 0$ を解くとき、初期条件と境界条件のどちらが適切かを述べよ。

解答 6

境界条件が適切です。楕円型には時間方向がなく、 $y$ を時刻と読む理由がありません。

四辺すべてで値を指定すると、内部の解が 1 つに決まる。これがディリクレ問題。

いっぽう 1 辺で $u$ と $u_{y}$ を与える初期値問題にすると、条件のわずかな違いが解を大きく変える。アダマールが挙げた不適切な問題の代表例です^[1]。

$u_{xx} + 2 u_{x y} + u_{y y} + u_{x} = 0$ の型はどれか。

楕円型
放物型
双曲型
場所によって変わる

__RESULT__

混合項の係数が $2$ なので $B = 1$ 、そして $A = C = 1$ です。 $Δ = 1 - 1 = 0$ で放物型になります。 $u_{x}$ の項は最高階ではないため、型の判定には関わりません。

よくある誤り

判別式を

b^{2} - 4 a c

の形で覚えていると外します。偏微分方程式では混合項を

2 B

と置き、

B^{2} - A C

を使います。

1 階や 3 階の項を判別式に入れてはいけません。型を決めるのは最高階の 3 項だけです。

型の名前から解の性質は読めません。円錐曲線の分類から借りた名前にすぎません。

係数が変わる方程式で、型が全平面で同じだと思い込むと誤ります。場所ごとに判別式を計算します。

楕円型に初期値問題を課すと、適切な問題になりません。境界の全周で条件を与えます。

双曲型でも解がなめらかになる、とは言えません。初期条件の飛びは特性曲線に沿って残ります。

参考文献

Partial differential equation - Wikipedia（英語）

Partielle Differentialgleichung - Wikipedia（ドイツ語）

Équation aux dérivées partielles - Wikipédia（フランス語）

偏微分方程 - 维基百科（中国語）

Method of characteristics - Wikipedia（英語）

偏微分方程式に共通の解法はなく、型に分けてから理論を当てます。線形・半線形・準線形・完全非線形の境目は、いつも最高階の導関数のところ。2 階線形なら、混合項を $2B$ と書いたときの $B^2 - AC$ の符号だけで 3 つの型が決まる。名前は円錐曲線から借りたもので、解の性質のほうは型ごとに別に覚えることになります。係数行列の固有値で言いかえる見方、場所によって型が変わるトリコミ方程式、特性曲線の本数との対応まで、計算問題つき。