べき級数解法

べき級数解法は、解を無限級数として表す方法です。初等関数で表せない解も扱え、特殊関数の定義にも使われます。

基本的な考え方

微分方程式の解を、

$y = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots$

の形で探します。これを方程式に代入し、 $x$ の各べきの係数を比較することで、係数 $a_{n}$ の漸化式を得ます。

べき級数を項別微分すると、

$y^{'} = n = 1 \sum \infty n a_{n} x^{n - 1} = n = 0 \sum \infty (n + 1) a_{n + 1} x^{n}$

$y^{''} = n = 2 \sum \infty n (n - 1) a_{n} x^{n - 2} = n = 0 \sum \infty (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n}$

添字をずらして $x^{n}$ の係数を揃えるのがポイントです。

$y^{'} = y, y (0) = 1$

$y = \sum a_{n} x^{n}$ を代入すると、

$n = 0 \sum \infty (n + 1) a_{n + 1} x^{n} = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}$

係数比較より $(n + 1) a_{n + 1} = a_{n}$ 、つまり

$a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{n + 1}$

$a_{0} = y (0) = 1$ から、 $a_{n} = \frac{1}{n !}$ が得られ、

$y = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !} = e^{x}$

$y^{''} - x y = 0$

$y = \sum a_{n} x^{n}$ を代入します。

$n = 0 \sum \infty (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n} - n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n + 1} = 0$

第2項の添字をずらして $x^{n}$ に揃えると、

$n = 0 \sum \infty (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n} - n = 1 \sum \infty a_{n - 1} x^{n} = 0$

$n = 0$ : $2 \cdot 1 \cdot a_{2} = 0$ より $a_{2} = 0$ 。

$n \geq 1$ : $(n + 2) (n + 1) a_{n + 2} = a_{n - 1}$ より

$a_{n + 2} = \frac{a _{n - 1}}{( n + 2 ) ( n + 1 )}$

3項ごとの漸化式

$a_{0}$ から $a_{3}, a_{6}, a_{9}, \dots$ が、 $a_{1}$ から $a_{4}, a_{7}, a_{10}, \dots$ が決まります。 $a_{2} = 0$ なので $a_{5} = a_{8} = \dots = 0$ です。

エアリー関数

この解はエアリー関数 $Ai (x)$ , $Bi (x)$ として知られ、量子力学や光学で重要です。

$y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0$ において、 $P (x)$ と $Q (x)$ が $x = x_{0}$ で解析的（テイラー展開可能）なら、 $x_{0}$ は通常点です。通常点周りではべき級数解が存在することが保証されます。

$P$ または $Q$ が $x_{0}$ で特異性をもつ場合、 $x_{0}$ は特異点です。このとき、通常のべき級数では解が得られず、フロベニウスの方法が必要になります。

べき級数解は必ずしも全ての $x$ で収束するわけではありません。収束半径は、最も近い特異点までの距離で決まります。たとえば

$(1 + x^{2}) y^{''} + y = 0$

は $x = \pm i$ に特異点があるので、 $x = 0$ 周りの級数の収束半径は 1 です。