初等関数で書けない解はどう書くか？微分方程式のべき級数解法

$y^{\prime \prime }=xy$ の解は、初等関数の組み合わせでは書けない。指数関数でも三角関数でも、多項式との積でもない。

それでも級数なら書ける。係数を 1 つずつ求める規則が、方程式そのものから出てくるからである。

$$y_1=1+\frac{x^3}{6}+\frac{x^6}{180}+\frac{x^9}{12960}+\cdots$$

3 つ飛びに並ぶ。この飛び方も、係数の規則が決めている^[3]。

通常点なら必ず書ける

標準形で考える。

$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$$

$P$ と $Q$ が $x_0$ で解析的、つまりテイラー展開できるなら、$x_0$ は通常点である。

このとき級数解が必ず存在する。しかも収束半径は、$P$ と $Q$ の展開の収束半径以上になる^[2]。

言い換えると、複素平面で $x_0$ からいちばん近い特異点までの距離が、そのまま級数の届く範囲になる。虚軸上の特異点も距離に数える。

添字をそろえる

代入の前に、微分した級数の添字を $x^n$ の形にそろえておく。ここが計算の要である。

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)a_{n+1}{x}^n\\ y^{\prime \prime }& =\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_n{x}^{n-2}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}{x}^n\end{array}$$

$x$ が掛かる項も同じように直す。

$$xy=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{n+1}=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n-1}{x}^n$$

始まりの番号がずれる点に注意したい。$n=0$ の項だけ別に書き出す必要が出てくる。

例：指数関数を作り直す

$$y^{\prime }=y,y(0)=1$$

添字をそろえてから代入する。

$$\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)a_{n+1}{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

$x^n$ の係数を比べて $a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1}$。$a_0=1$ から順に $a_n=\frac{1}{n!}$ が出る。

$$y=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=e^x$$

知っている答えが出た。$P$ も $Q$ も定数なので、収束半径は無限大である。

例：エアリー方程式

$$y^{\prime \prime }-xy=0$$

代入して $x^n$ の係数を集める。

$$(n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}(n\ge 1),2a_2=0$$

$a_2=0$ から始まって、$a_5=a_8=\cdots$ もすべて $0$ になる。残りは 3 つ飛びの 2 系列である。

$a_0$ からは $a_3$、$a_6$、$a_9$ が決まり、$a_1$ からは $a_4$、$a_7$、$a_{10}$ が決まる。

$$a_m=\frac{a_{m-3}}{m(m-1)}$$

2 つの自由な定数 $a_0$ と $a_1$ が、2 本の独立な解に対応している。2 階の方程式として辻褄が合う。

エアリー関数

$a_0=1$、$a_1=0$ から出るのが $y_1$、$a_0=0$、$a_1=1$ から出るのが $y_2$ である。

$$y_1=1+\frac{x^3}{6}+\frac{x^6}{180}+\cdots ,y_2=x+\frac{x^4}{12}+\frac{x^7}{504}+\cdots$$

この 2 本を組み合わせて作る標準解がエアリー関数である^[3]。

$$\mathrm{Ai}(x)=\mathrm{Ai}(0)y_1(x)+{\mathrm{Ai}}^{\prime }(0)y_2(x)$$

$\mathrm{Ai}(0)=0.3550\dots$、${\mathrm{Ai}}^{\prime }(0)=-0.2588\dots$ で、どちらもガンマ関数の値で書ける^[3]。

$x>0$ では単調に減衰し、$x<0$ では振動する。境目の $x=0$ を転回点と呼ぶ。方程式の $xy$ の符号が変わる場所である。

右側は数項で形が決まるのに、左の振動を再現するには多くの項が要る。級数はどこでも収束するが、収束の速さは場所で違う。

例：収束半径が有限になる

$$(1+x^2)y^{\prime \prime }+y=0$$

標準形に直すと $Q(x)=\frac{1}{1+x^2}$ である。実軸の上では何事も起きないが、$x=\pm \mathrm{i}$ で分母が消える^[2]。

原点からの距離は $1$。したがって原点まわりの級数の収束半径は $1$ で、$|x|>1$ では使えない。

実数の世界だけを見ていると、なぜ $x=1.5$ で級数が壊れるのか分からない。複素平面に出て初めて理由が見える。

例：ルジャンドル方程式

$$(1-x^2)y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+\lambda y=0$$

代入して $x^n$ の係数を集めると、2 つ飛びの漸化式が出る^[4]。

$$a_{n+2}=\frac{n(n+1)-\lambda }{(n+1)(n+2)}{a}_n$$

分子に注目したい。$\lambda =l(l+1)$ で $l$ が整数なら、$n=l$ のところで分子が $0$ になる。

そこから先の係数がすべて $0$ になり、級数が多項式で止まる。これがルジャンドル多項式である^[1]。

$$P_0=1,P_1=x,P_2=\frac{3x^2-1}{2},P_3=\frac{5x^3-3x}{2}$$

$P_l(1)=1$ となるように定数倍を決める約束になっている。

打ち切らないとどうなるか

$\lambda$ が $l(l+1)$ の形でなければ、級数は止まらない。このとき $x=\pm 1$ で解が発散する^[1]。

球面上の物理では、極（$x=\cos \theta$ で $\theta =0,\pi$）で解が有限でなければならない。そこで $\lambda$ が $l(l+1)$ に限られる。

方程式を解いた結果として、パラメータの値が飛び飛びに決まった。この構造が次の例でもっとはっきりする。

例：エルミート方程式と量子化

$$y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+2\lambda y=0$$

漸化式はやはり 2 つ飛びである。

$$a_{n+2}=\frac{2(n-\lambda )}{(n+1)(n+2)}{a}_n$$

$\lambda$ が $0$ 以上の整数なら $n=\lambda$ で分子が消え、多項式で止まる。エルミート多項式である。

止まらない場合を見る。$n$ が大きいところで比を見積もる。

$$\frac{a_{n+2}}{a_n}\approx \frac{2}{n}$$

$e^{x^2}=\sum \frac{x^{2k}}{k!}$ の係数比も $\frac{1}{k+1}\approx \frac{2}{n}$ である。$y$ は $e^{x^2}$ と同じ勢いで増える。

量子力学ではこの $y$ に $e^{-x^2/2}$ が掛かる形で波動関数が作られる^[1]。積は $e^{x^2/2}$ となって発散し、規格化できない。

規格化できる解が残るのは、$\lambda$ が整数のときだけ。調和振動子のエネルギーが $\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$ と飛び飛びになる理由が、この打ち切り条件である。

パラメータの離散化は、方程式を解いた結果として自動的に現れた。仮定として置いたものではない。

検算のしかた

漸化式を得たら、まず $n$ に小さい値を入れて手で係数を並べる。$a_2$、$a_3$、$a_4$ の 3 つで足りることが多い。

次に、その係数でできた多項式をもとの方程式に代入する。低い次数の項から順に消えるかを見る。

多項式解が出た場合は、$x=1$ を入れて既知の値と比べるのが早い。ルジャンドルなら $P_l(1)=1$ である。

収束半径は、標準形にしてから分母の零点を探す。$1-x^2$ で割るなら $x=\pm 1$、$1+x^2$ で割るなら $x=\pm \mathrm{i}$ である。

添字をそろえ、漸化式を作り、分子が消える条件を探す。べき級数解法でやることは、この 3 つだけである。

出典