初等関数で書けない解はどう書くか？微分方程式のべき級数解法

$y^{''} = x y$ の解は、初等関数の組み合わせでは書けない。指数関数でも三角関数でも、多項式との積でもない。

それでも級数なら書ける。係数を 1 つずつ求める規則が、方程式そのものから出てくるからである。

$y_{1} = 1 + \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{6}}{180} + \frac{x ^{9}}{12960} + \dots$

3 つ飛びに並ぶ。この飛び方も、係数の規則が決めている^[3]。

通常点なら必ず書ける

標準形で考える。

$y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0$

$P$ と $Q$ が $x_{0}$ で解析的、つまりテイラー展開できるなら、 $x_{0}$ は通常点である。

このとき級数解が必ず存在する。しかも収束半径は、 $P$ と $Q$ の展開の収束半径以上になる^[2]。

言い換えると、複素平面で $x_{0}$ からいちばん近い特異点までの距離が、そのまま級数の届く範囲になる。虚軸上の特異点も距離に数える。

「必ず存在する」という部分が効いている。解けるかどうかを試す前に、答えの形が保証されている。

確定特異点のように、先頭の指数を探す手間がない。素直に $\sum a_{n} x^{n}$ と置いてよい。

添字をそろえる

代入の前に、微分した級数の添字を $x^{n}$ の形にそろえておく。ここが計算の要である。

$y^{'} y^{''} = n = 1 \sum \infty n a_{n} x^{n - 1} = n = 0 \sum \infty (n + 1) a_{n + 1} x^{n} = n = 2 \sum \infty n (n - 1) a_{n} x^{n - 2} = n = 0 \sum \infty (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n}$

$x$ が掛かる項も同じように直す。

$x y = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n + 1} = n = 1 \sum \infty a_{n - 1} x^{n}$

始まりの番号がずれる点に注意したい。 $n = 0$ の項だけ別に書き出す必要が出てくる。

例：指数関数を作り直す

$y^{'} = y, y (0) = 1$

添字をそろえてから代入する。

$n = 0 \sum \infty (n + 1) a_{n + 1} x^{n} = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}$

$x^{n}$ の係数を比べて $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{n + 1}$ 。 $a_{0} = 1$ から順に $a_{n} = \frac{1}{n !}$ が出る。

$y = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !} = e^{x}$

知っている答えが出た。 $P$ も $Q$ も定数なので、収束半径は無限大である。

例：エアリー方程式

$y^{''} - x y = 0$

代入して $x^{n}$ の係数を集める。

$(n + 2) (n + 1) a_{n + 2} = a_{n - 1} (n \geq 1), 2 a_{2} = 0$

$a_{2} = 0$ から始まって、 $a_{5} = a_{8} = \dots$ もすべて $0$ になる。残りは 3 つ飛びの 2 系列である。

$a_{0}$ からは $a_{3}$ 、 $a_{6}$ 、 $a_{9}$ が決まり、 $a_{1}$ からは $a_{4}$ 、 $a_{7}$ 、 $a_{10}$ が決まる。

$a_{m} = \frac{a _{m - 3}}{m ( m - 1 )}$

2 つの自由な定数 $a_{0}$ と $a_{1}$ が、2 本の独立な解に対応している。2 階の方程式として辻褄が合う。

エアリー関数

$a_{0} = 1$ 、 $a_{1} = 0$ から出るのが $y_{1}$ 、 $a_{0} = 0$ 、 $a_{1} = 1$ から出るのが $y_{2}$ である。

$y_{1} = 1 + \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{6}}{180} + \dots, y_{2} = x + \frac{x ^{4}}{12} + \frac{x ^{7}}{504} + \dots$

この 2 本を組み合わせて作る標準解がエアリー関数である^[3]。

$Ai (x) = Ai (0) y_{1} (x) + Ai^{'} (0) y_{2} (x)$

$Ai (0) = 0.3550 \dots$ 、 $Ai^{'} (0) = - 0.2588 \dots$ で、どちらもガンマ関数の値で書ける^[3]。

$x > 0$ では単調に減衰し、 $x < 0$ では振動する。境目の $x = 0$ を転回点と呼ぶ。方程式の $x y$ の符号が変わる場所である。

右側は数項で形が決まるのに、左の振動を再現するには多くの項が要る。級数はどこでも収束するが、収束の速さは場所で違う。

例：収束半径が有限になる

$(1 + x^{2}) y^{''} + y = 0$

標準形に直すと $Q (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ である。実軸の上では何事も起きないが、 $x = \pm i$ で分母が消える^[2]。

原点からの距離は $1$ 。したがって原点まわりの級数の収束半径は $1$ で、 $∣ x ∣ > 1$ では使えない。

実数の世界だけを見ていると、なぜ $x = 1.5$ で級数が壊れるのか分からない。複素平面に出て初めて理由が見える。

例：ルジャンドル方程式

$(1 - x^{2}) y^{''} - 2 x y^{'} + λ y = 0$

代入して $x^{n}$ の係数を集めると、2 つ飛びの漸化式が出る^[4]。

$a_{n + 2} = \frac{n ( n + 1 ) - λ}{( n + 1 ) ( n + 2 )} a_{n}$

分子に注目したい。 $λ = l (l + 1)$ で $l$ が整数なら、 $n = l$ のところで分子が $0$ になる。

そこから先の係数がすべて $0$ になり、級数が多項式で止まる。これがルジャンドル多項式である^[1]。

$P_{0} = 1, P_{1} = x, P_{2} = \frac{3 x ^{2} - 1}{2}, P_{3} = \frac{5 x ^{3} - 3 x}{2}$

$P_{l} (1) = 1$ となるように定数倍を決める約束になっている。

打ち切らないとどうなるか

$λ$ が $l (l + 1)$ の形でなければ、級数は止まらない。このとき $x = \pm 1$ で解が発散する^[1]。

球面上の物理では、極（ $x = cos θ$ で $θ = 0, π$ ）で解が有限でなければならない。そこで $λ$ が $l (l + 1)$ に限られる。

方程式を解いた結果として、パラメータの値が飛び飛びに決まった。この構造が次の例でもっとはっきりする。

例：エルミート方程式と量子化

$y^{''} - 2 x y^{'} + 2 λ y = 0$

漸化式はやはり 2 つ飛びである。

$a_{n + 2} = \frac{2 ( n - λ )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} a_{n}$

$λ$ が $0$ 以上の整数なら $n = λ$ で分子が消え、多項式で止まる。エルミート多項式である。

止まらない場合を見る。 $n$ が大きいところで比を見積もる。

$\frac{a _{n + 2}}{a _{n}} \approx \frac{2}{n}$

$e^{x^{2}} = \sum \frac{x ^{2 k}}{k !}$ の係数比も $\frac{1}{k + 1} \approx \frac{2}{n}$ である。 $y$ は $e^{x^{2}}$ と同じ勢いで増える。

量子力学ではこの $y$ に $e^{- x^{2} /2}$ が掛かる形で波動関数が作られる^[1]。積は $e^{x^{2} /2}$ となって発散し、規格化できない。

規格化できる解が残るのは、 $λ$ が整数のときだけ。調和振動子のエネルギーが $(n + \frac{1}{2}) ℏ ω$ と飛び飛びになる理由が、この打ち切り条件である。

級数が止まるとき

多項式になり、遠方でも行儀がよい。パラメータが特定の値のときだけ起きる

級数が止まらないとき

指数関数の勢いで増える。物理の要求を満たさず、捨てられる

パラメータの離散化は、方程式を解いた結果として自動的に現れた。仮定として置いたものではない。

検算のしかた

漸化式を得たら、まず $n$ に小さい値を入れて手で係数を並べる。 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ の 3 つで足りることが多い。

次に、その係数でできた多項式をもとの方程式に代入する。低い次数の項から順に消えるかを見る。

多項式解が出た場合は、 $x = 1$ を入れて既知の値と比べるのが早い。ルジャンドルなら $P_{l} (1) = 1$ である。

収束半径は、標準形にしてから分母の零点を探す。 $1 - x^{2}$ で割るなら $x = \pm 1$ 、 $1 + x^{2}$ で割るなら $x = \pm i$ である。

$(1 - x^{2}) y^{''} - 2 x y^{'} + 12 y = 0$ の解に多項式が含まれるのは、なぜですか。

$12 = 3 \cdot 4$ なので漸化式の分子が $n = 3$ で消えるから
収束半径が $1$ だから
$x = \pm 1$ が特異点だから

__RESULT__

$λ = l (l + 1)$ の形になる $l$ があるかを見ます。 $12 = 3 \cdot 4$ なので $l = 3$ で、 $a_{5} = 0$ 以降が全部消えます。残るのは $P_{3} = \frac{5 x ^{3} - 3 x}{2}$ の定数倍です。収束半径が $1$ であることは別の話で、多項式解の有無とは関係しません。

添字をそろえ、漸化式を作り、分子が消える条件を探す。べき級数解法でやることは、この 3 つだけである。

出典

*Series Solutions and Orthogonal Polynomials*. Advanced Mathematics, University of Manchester.

Series Solutions and Convergence/Ordinary_Differential_Equations/6%3A_Power_Series_and_Laplace_Transforms/6.3%3A_Series_Solutions_and_Convergence). Ordinary Differential Equations, LibreTexts.

Airy Functions: Differential Equation. NIST Digital Library of Mathematical Functions.

Legendre Differential Equation. Wolfram MathWorld.

$y'' = xy$ の解は指数関数でも三角関数でも書けませんが、級数なら $1 + x^3/6 + x^6/180 + \cdots$ と並びます。通常点では級数解の存在が先に保証され、収束半径は複素平面でいちばん近い特異点までの距離になる。代入の前に添字を $x^n$ にそろえるのが要点で、あとは係数を比べるだけです。エアリー方程式では係数の鎖が 3 つ飛びに 2 本でき、$a_2$ の鎖は最初から消える。ルジャンドル方程式は $\lambda = l(l+1)$ で漸化式の分子が $0$ になり、多項式で止まります。エルミート方程式で止まらない解は $e^{x^2}$ の勢いで増えるため、調和振動子のエネルギーが飛び飛びになる。