京大理系数学 2023 年 第 1 問の解説（定積分と整式の剰余）

2023 年の京都大学（理系）前期日程の第 1 問は、(1) 定積分の計算、(2) 整式の剰余を求める問題でした。どちらも基本的な手法の組み合わせですが、計算ミスなく処理する力が問われます。

(1) 定積分

$${\int }_1^4\sqrt{x}\log (x^2)dx$$

を求めよ。

まず被積分関数を整理します。対数の性質 $\log (x^2)=2\log x$ を使うと、

$${\int }_1^4\sqrt{x}\log (x^2)dx=2{\int }_1^4{x}^{1/2}\log xdx$$

となります。$x^{1/2}$ と $\log x$ の積なので、部分積分を使いましょう。

部分積分では「どちらを微分し、どちらを積分するか」が重要です。$\log x$ は微分すると $1/x$ とシンプルになる一方、積分すると面倒になります。逆に $x^{1/2}$ は積分しても $x^{3/2}$ で扱いやすい。そこで $\log x$ を微分する側に選ぶのが定石です。

$u=\log x$, $dv=x^{1/2}dx$ とおくと、$du=\frac{1}{x}dx$, $v=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$ となります。部分積分を実行すると、

$$\int x^{1/2}\log xdx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}\log x-\int \frac{2}{3}{x}^{3/2}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}\log x-\frac{2}{3}\int x^{1/2}dx$$

右辺の積分を計算して、

$$=\frac{2}{3}{x}^{3/2}\log x-\frac{4}{9}{x}^{3/2}+C$$

を得ます。これを定積分に適用しましょう。

$$2{\left[\frac{2}{3}{x}^{3/2}\log x-\frac{4}{9}{x}^{3/2}\right]}_1^4$$

$x=4$ のとき $x^{3/2}=8$, $\log 4=2\log 2$ なので、

$$\frac{2}{3}\cdot 8\cdot 2\log 2-\frac{4}{9}\cdot 8=\frac{32}{3}\log 2-\frac{32}{9}$$

$x=1$ のとき $\log 1=0$ なので、

$$0-\frac{4}{9}=-\frac{4}{9}$$

したがって、

$$2\left(\frac{32}{3}\log 2-\frac{32}{9}+\frac{4}{9}\right)=2\left(\frac{32}{3}\log 2-\frac{28}{9}\right)=\frac{64}{3}\log 2-\frac{56}{9}$$

が答えです。

(2) 式の証明

$x^{2023}-1$ を $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割った余りを求めよ。

この問題のポイントは、割る式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ の正体を見抜くことにあります。

等比数列の和の公式を思い出してください。$1+x+x^2+x^3+x^4$ は初項 1、公比 $x$、項数 5 の等比数列の和なので、

$$1+x+x^2+x^3+x^4=\frac{x^5-1}{x-1}$$

と表せます。これを変形すると、

$$(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1$$

という関係が得られます。つまり $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割った余りを考えるときは、$x^5-1\equiv 0$、すなわち $x^5\equiv 1$ として計算できるわけです。

これは非常に強力で、$x^{10}\equiv 1$, $x^{15}\equiv 1$ … と 5 の倍数乗がすべて 1 になるので、どんなに大きな指数でも 5 で割った余りだけ考えればよいことになります。

$2023÷5=404$ 余り 3 なので、$2023=5\times 404+3$ と書けます。

$$x^{2023}=x^{5\times 404+3}=(x^5{)}^{404}\cdot x^3\equiv 1^{404}\cdot x^3=x^3$$

したがって、

$$x^{2023}-1\equiv x^3-1$$

$x^3-1$ は 3 次式であり、割る式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ は 4 次式です。3 次式を 4 次式で割ると商は 0、余りはそのまま元の式になるので、答えは $x^3-1$ です。