2025 京都大学（理系）前期 第 2 問 - 2 乗の差の因数分解

正の整数 $x,y,z$ を用いて、$N=9z^2=x^6+y^4$ と表される正の整数 $N$ の最小値を求めよ。

解法1：mod 9 による絞り込み

$x^6+y^4=9z^2$ という等式が成り立つためには、左辺が 9 の倍数である必要があります。そこでまず、$x^6$ と $y^4$ を 9 で割った余りを調べます。

$x^6\mathrm{mod}9$ について、$x\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ のとき $x^6\equiv 0$、$x\not\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ のとき $x^6\equiv 1$ となります。これはフェルマーの小定理から従う結果です。

$y^4\mathrm{mod}9$ についても同様に調べると、次のようになります。

$x^6+y^4\equiv 0(\mathrm{mod}9)$ となる組み合わせを探すと、$(x^6,y^4)\equiv (0,0)$ の場合のみが該当します。したがって $x$ と $y$ はともに 3 の倍数でなければなりません。

$x=3a$, $y=3b$（$a,b$ は正整数）とおきます。元の等式に代入すると、

$$(3a{)}^6+(3b{)}^4=9z^2$$

となり、整理すると $729a^6+81b^4=9z^2$ です。両辺を 9 で割ると、

$$81a^6+9b^4=z^2$$

が得られます。左辺は 9 の倍数なので $z^2$ も 9 の倍数であり、$z$ は 3 の倍数です。そこで $z=3c$（$c$ は正整数）とおくと、

$$81a^6+9b^4=9c^2$$

両辺を 9 で割って、$9a^6+b^4=c^2$ という簡潔な式が得られました。

$N$ を最小にするには $a$ が小さいほうが有利です。$a=1$ として、

$$c^2-b^4=9$$

を解きます。左辺を因数分解すると $(c-b^2)(c+b^2)=9$ となります。$c,b$ は正整数なので $c+b^2\ge 2$ であり、また $c-b^2<c+b^2$ より、9 の因数分解として $(c-b^2,c+b^2)=(1,9)$ を採用します。

$(a,b,c)=(1,2,5)$ が得られました。元の変数に戻すと $(x,y,z)=(3,6,15)$ です。

解法2：差の平方による因数分解

与えられた等式 $9z^2=x^6+y^4$ を移項して、因数分解できる形に整理します。

$$9z^2-y^4=x^6$$

$$(3z{)}^2-(y^2{)}^2=x^6$$

左辺は 2 乗の差なので、次のように因数分解できます。

$$(3z-y^2)(3z+y^2)=x^6$$

ここで $3z-y^2=a$, $3z+y^2=b$ とおくと、$ab=x^6$ かつ $b-a=2y^2$ という条件が得られます。$y^2>0$ より $b>a$ です。

$N=x^6+y^4$ を最小にするため、小さい $x$ から順に探索していきます。

$x=1$ のとき、$ab=1$ となりますが、$b>a$ を満たす正整数の組は存在しません。

$x=2$ のとき、$ab=64$ です。差が偶数（$b-a=2y^2$）になる組を調べます。

いずれも $y^2$ が平方数にならないため不適です。

$x=3$ のとき、$ab=729$ です。差 $b-a$ が偶数になるには $a,b$ がともに奇数である必要があります。

$(a,b)=(9,81)$ のとき $y^2=36$、すなわち $y=6$ が見つかりました。$a+b=6z$ より $z=15$ も確定します。

$x=4$ の場合は $x^6=4096$ となり、すでに 2025 を超えるため、$(x,y,z)=(3,6,15)$ が最小解であることが確認できます。

検算

$x=3$, $y=6$, $z=15$ を代入して確認します。

$$x^6+y^4=3^6+6^4=729+1296=2025$$

$$9z^2=9\times 15^2=9\times 225=2025$$

確かに一致しています。

答え

$N=2025$