単項イデアル整域（PID）の定義と例、局所化についてのノート

単項イデアル整域（PID）は「すべてのイデアルが一つの元で生成される」という非常に扱いやすい性質をもつ環です。整数環 $\mathbb{Z}$ や体上の一変数多項式環 $k[x]$ が典型例です。

単項イデアル整域の定義

整域 $R$ が単項イデアル整域（PID, Principal Ideal Domain）であるとは、$R$ のすべてのイデアルが単項イデアル、すなわちある元 $a\in R$ を用いて $(a)=aR$ と書けることをいいます。

なぜ「単項」が重要か

一般の環ではイデアルを指定するのに複数の生成元が必要です。たとえば $\mathbb{Z}[x]$ のイデアル $(2,x)$ は $2$ と $x$ の両方がないと生成できません。

PID では話が単純になります。任意のイデアルが $(a)$ という形なので、イデアルの構造が元 $a$ の性質（単元か、既約か、など）に帰着します。

PID の例

PID でない例

PID の基本性質

PID は多くの良い性質をもちます。

なぜ PID は UFD か

PID では既約元と素元が一致します。

$p$ を PID $R$ の既約元とします。$(p)$ は極大イデアル（そうでなければ $(p)⊊(a)⊊R$ となり $p=ab$ で $a,b$ が非単元となる）なので素イデアルです。よって $p$ は素元です。

素元による分解が存在し、素元は分解の一意性を保証するので、PID は UFD です。

最大公約元とユークリッド整域

PID では任意の二元 $a,b$ に対し最大公約元 $\gcd (a,b)$ が存在し、$(a,b)=(\gcd (a,b))$ が成り立ちます。

さらに強い性質として、ユークリッド整域（除法アルゴリズムが使える整域）は PID です。

$\mathbb{Z}$、$k[x]$、$\mathbb{Z}[i]$ はユークリッド整域であり、したがって PID でもあります。一方、ユークリッド整域でない PID も存在します（例：$\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]$）。

PID 上の加群

PID 上の有限生成加群には構造定理があります。

$R$ を PID、$M$ を有限生成 $R$-加群とすると、

$$M\cong R^r\oplus R/(a_1)\oplus \cdots \oplus R/(a_n)$$

と分解できます。ただし $a_1\mid a_2\mid \cdots \mid a_n$（単因子の整除条件）です。

$R=\mathbb{Z}$ の場合、これは有限生成アーベル群の基本定理です。$R=k[x]$ の場合、線型代数におけるジョルダン標準形の理論に対応します。

PID と局所化

$R$ が PID で $S$ が乗法的集合なら $S^{-1}R$ も PID です。特に、PID の素イデアル $\mathfrak{p}$ での局所化 $R_{\mathfrak{p}}$ は

となります。