円の上を回るものの速さを、進んだ距離で測ることもできます。ただ、それだと 1 周ぶんの長さが半径によって変わってしまい、内側と外側を比べにくくなります。回るものには、もっと素直なものさしがあります。回った角です。
1 秒あたりに何ラジアン回るか。これを角速度といい、\omega と書きます。時間 t のあいだに角 \theta だけ回ったなら \omega = \dfrac{\theta}{t} です。半径がいくつでも、1 周すれば 2\pi です。
距離のほうも角で書けます。半径 r の円の、中心角 \theta の弧の長さは r\theta でした。これを時間で割れば速さですから、v = \dfrac{r\theta}{t} = r\omega となります。同じ \omega で回っていても、外側にいるほど速い、ということがこの式に出ています。
1 周ぶんの角 2\pi を \omega で割れば、1 周にかかる時間、つまり周期 T = \dfrac{2\pi}{\omega} が出ます。v と \omega と T は、どれか 1 つと半径が決まれば残りも決まります。
等速円運動という名前がついていますが、一定なのは速さだけです。速度のほうは変わり続けています。速度は大きさと向きの両方を持っていて、円の上を回っているあいだ、向きは片時も止まっていないからです。
加速度とは、速度がどれだけの割合で変わるかでした。速さが変わることだけを指すのではありません。ですから、速さが変わらない等速円運動にも加速度があります。
どちらを向いているかを、図で確かめます。少し前の速度 v_1 と、いまの速度 v_2 を、円の中心へ持ってきて始点をそろえました。長さは同じですが向きが違うので、先と先のあいだに隙間ができます。この隙間を埋める矢印が速度の変化 \Delta v です。
v_1 と v_2 は長さが同じですから、この 3 本は二等辺三角形をつくります。その底辺にあたる \Delta v は、いつも円の中心のほうを向いています。速度が中心向きに変えられている、ということです。だから加速度も中心を向きます。
向きが分かったので、大きさを出します。速度の矢印は長さ v のまま、角 \Delta\theta だけ向きを変えました。長さ v の矢印の先が角 \Delta\theta ぶん動くのですから、その先が動いた距離は v\Delta\theta です。これが \Delta v の大きさです。
あとは時間で割るだけです。a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = v\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t} = v\omega となります。\omega = \dfrac{v}{r} を入れれば a = \dfrac{v^2}{r}、v = r\omega を入れれば a = r\omega^2 です。同じものを 3 通りに書いただけで、使いやすい形を選べばかまいません。
図の 2 本の矢印は、いつも直角に交わっています。速度は接線の向き、加速度は半径の向きだからです。
これが等速のまま回り続けられる理由でもあります。進む向きと直角にはたらく加速度は、速さを変えることができません。向きだけを変えて、そのぶん進む先を曲げていきます。もし加速度に接線の向きの成分があれば、そのぶんだけ速さも変わって、等速円運動ではなくなります。
a = \dfrac{v^2}{r} の r は分母にいます。同じ速さで回るなら、半径が小さいほど加速度が大きい、ということです。
図の 2 つは、同じ中心のまわりを同じ速さで回っています。内側の半径は外側の半分です。同じ速さのまま半分の円をたどるには、向きを 2 倍の速さで変えなければなりません。だから加速度も 2 倍になります。矢印の長さがそのまま 2 倍で描いてあります。
角速度のほうも 2 倍です。v = r\omega で v が同じなのですから、r が半分なら \omega は倍です。図でも、内側のおもりが 2 周するあいだに外側は 1 周しかしません。
車で急なカーブがきついのは、これが理由です。速さは同じでも、曲がりが急なほど r が小さく、体が受ける加速度は大きくなります。同じ道でも、内側の車線を通るほうがきつく感じます。