振り子のおもりにはたらく力は 2 つだけです。真下を向く重力と、糸が引く張力です。
重力は真下を向いていますが、おもりが動けるのは円の上だけです。力の向きと動ける向きが斜めに交わっているので、重力を 2 つに分けます。糸に沿う向きと、それに直角な向き。直角なほうが、おもりの進む向きです。
糸に沿う向きの成分 mg\cos\theta は、進む向きと直角です。直角にはたらく力は速さを変えません。糸の張力も同じ向きですから、この向きの力はどれも、おもりを円の上に留めておくためにはたらいていることになります。
残った mg\sin\theta が、おもりを動かします。向きはいつも最下点のほうで、振れた側とは逆です。だから接線の向きの力は F = -mg\sin\theta と書けます。ばねの復元力と同じで、- は「逆を向く」という意味です。
ばねのときは、変位をまっすぐな線で測りました。振り子のおもりは円の上を動くので、変位も円に沿って測ります。最下点 O からおもりまでの弧の長さ、これを x とします。
半径 L の円の、中心角 \theta の弧ですから x = L\theta です。\theta はラジアンで測ります。角をラジアンで測るというのは、もともと弧の長さで角を測るということでした。
これで材料がそろいました。力は F = -mg\sin\theta、変位は x = L\theta。どちらも \theta で書けています。ところが、この 2 つはまだ比例していません。\sin\theta と \theta は別ものだからです。単振動と呼ぶには、力が変位に比例していなければなりません。
\sin\theta と \theta を、同じ図の上に描いてみます。\theta はまっすぐな直線、\sin\theta は途中から寝ていく曲線です。
ところが原点の近くでは、2 本がほとんど重なっています。振れ角が小さいうちは、どちらで計算しても差が出ません。そこで \sin\theta \fallingdotseq \theta と置きます。近似はここ 1 か所だけで、ほかはすべて厳密な話です。
すると力は F = -mg\theta になります。x = L\theta でしたから \theta = \dfrac{x}{L} で、これを入れて F = -\dfrac{mg}{L}x です。力が変位に比例して、向きが逆。ばねの F = -kx とまったく同じ形になりました。k にあたるのが \dfrac{mg}{L} です。ばねだから単振動になるのではなく、この形になったから単振動なのでした。振り子は、小さく振れるときだけこの形になります。
単振動の周期は T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} でした。k にあたるのが \dfrac{mg}{L} ですから、これを入れます。根号の中で m どうしが約分されて、T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} になります。
m が消えました。重いおもりでも軽いおもりでも、糸の長さが同じなら周期は同じです。消える理由もはっきりしています。おもりを引く力 mg も、おもりの動きにくさ m も、同じ m に比例するからです。重くすればそのぶん強く引かれますが、同じだけ動きにくくもなって、差し引きで消えます。
振幅 A も式に出てきません。大きく振れても小さく振れても、1 往復にかかる時間は同じです。図の 2 つは重さも振れ幅も違いますが、同時に端へ着き、同時に戻ってきます。これを等時性といいます。ただし \sin\theta \fallingdotseq \theta と置いたうえでの話で、近似が効かないほど大きく振れると、周期はこの式より長くなります。