糸で吊るしたおもりの張力を、そのまま m g と書いてしまうことがあります。止まっているならそれで正しいのですが、動いているあいだは違います。
吊り下げたおもりの式は m_2g - S = m_2a でした。これを S について解くと S = m_2(g - a) になります。
a = 0 のときだけ S = m_2g です。下向きに加速しているあいだ、S は重さより小さい。おもりが落ちていくのは、糸が引き留めきれていないからです。
図では加速度を 0 から大きくしていきます。張力の矢印が重力の矢印より短くなり、差が開いていきます。a が g に届けば S は 0 で、これは糸が切れて自由落下する場合にあたります。
a はもう出ています。a = \dfrac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2} を、いまの S = m_2(g - a) に入れます。
括弧の中を通分します。g - \dfrac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2} は \dfrac{(m_1 + m_2)g - (m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2} で、分子の m_2g が打ち消し合って \dfrac{2m_1g}{m_1 + m_2} になります。
これに m_2 を掛けて、S = \dfrac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2} が出ました。m_1 と m_2 が入れ替えても同じ形で入っています。どちらのおもりから解いても同じ答えになる、ということです。
確かめに、軽いほうの式 S - m_1g = m_1a へ入れても同じ値が出ます。2 本のうち好きなほうで解いてよく、残った 1 本は答え合わせに使えます。
この S がどのくらいの大きさなのかを見ます。横軸に m_2 を取り、m_1 は決めたままにして S の動きを描いたのが図です。
S の線は、m_1g の高さと m_2g の線の、いつでもあいだにあります。重いほうの重さより小さく、軽いほうの重さより大きい。2 つが等しいところでだけ、3 本が 1 点で交わります。
m_2 をいくら大きくしても、S は 2m_1g より上へは行きません。図の点線がその高さです。軽いほうのおもりが糸を張れる力には限りがあり、相手が重くなるほど、ただ落ちる速さが増えていくだけになります。
\dfrac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2} は m_1g と m_2g の調和平均です。2 つの数のあいだに必ず入り、小さいほうへ強く引きずられる。並列につないだ抵抗やばねにも同じ形が出てきます。
最後に、滑車を吊るしている軸を見ます。糸は滑車の両側で下へ引いていて、その大きさはどちらも S です。ですから軸は 2S で下へ引かれ、天井は 2S で支えることになります。
ここへ先ほどの値を入れると 2S = \dfrac{4m_1m_2g}{m_1 + m_2} です。2 つの重さの和 (m_1 + m_2)g と比べてみます。4m_1m_2 \leq (m_1 + m_2)^2 ですから、2S のほうが小さいか、等しいかのどちらかです。
等しくなるのは m_1 = m_2 のとき、つまり止まっているときだけです。動いているあいだ、天井が支える力は 2 つの重さの和より小さくなります。全体が軽くなっている、と言ってもかまいません。
軽くなった分はどこへ行ったのでしょうか。落ちているおもりが加速しているぶん、糸を引く力を出しきっていないのです。下へ加速するエレベーターの中で体が軽く感じるのと、同じことがここで起きています。