走っている車がブレーキをかけて止まるまでに、何 m 進むか。この問いには時間が出てきません。知りたいのは距離だけです。
ところが、いま持っている公式は v = v_0 + at と x = v_0t + \dfrac{1}{2}at^2 の 2 本で、どちらにも t が入っています。だから、まず止まるまでの時間を求めて、それから距離を出す、という二段構えになります。
解けはします。ただ、聞かれてもいない量をいちいち通るのは遠回りです。t を通らずに済ませたい。
速度の式 v = v_0 + at は、t について解けます。移項して at = v - v_0、両辺を a で割って t = \dfrac{v - v_0}{a} です。
グラフで見れば当たり前のことをしています。直線の傾きが加速度なのですから、縦の変化を傾きで割れば横の長さ、つまりかかった時間が出ます。
これで t を、速度と加速度だけで書けるようになりました。あとはこれを距離の式へ入れます。
距離は台形の面積で x = \dfrac{v_0 + v}{2}t と書けました。ここへ t = \dfrac{v - v_0}{a} を入れると、x = \dfrac{v_0 + v}{2} \cdot \dfrac{v - v_0}{a} になります。
分子は和と差の積です。展開すれば v^2 - v_0^2 になります。だから x = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2a} となり、分母をはらって v^2 - v_0^2 = 2ax が残ります。
この式に t は入っていません。時刻を知らなくても、速度と加速度と距離の 3 つが直接むすびついています。3 本目の公式と呼ばれるものですが、新しい法則ではありません。前の 2 本から t を消しただけです。
止まるときは v = 0 ですから、0 - v_0^2 = 2ax となります。減速の大きさを a と書き直せば、止まるまでに進む距離は x = \dfrac{v_0^2}{2a} です。
ここで大事なのは、初速が 2 乗で効いていることです。同じブレーキでも、初速が 2 倍なら止まるまでの距離は 4 倍になります。速さが少し増えただけで、止まれる距離は大きく伸びます。
図の 2 つの段は、初速だけが 2 倍違います。ブレーキの強さは同じなのに、下の段は上の段の 4 倍の距離を走ってから止まります。