ばねを x だけのばすには仕事が要ります。ところがばねの力は F = kx で、のばすほど強くなります。一定ではないので、力と距離を掛けるだけでは求まりません。
F–x のグラフを描くと、力は原点を通る直線になります。仕事はこの直線の下の面積、つまり三角形の面積です。底辺が x、高さが kx ですから \dfrac{1}{2}kx^2。これがばねにたくわえられたエネルギー U です。
\dfrac{1}{2} が付くのは、はたらいた力の平均が \dfrac{1}{2}kx だからだ、と言っても同じことです。0 から kx まで一様に増えるので、平均はちょうど真ん中になります。
おもりが動くあいだ、運動エネルギー K = \dfrac{1}{2}mv^2 とばねのエネルギー U = \dfrac{1}{2}kx^2 は、たがいに入れ替わります。棒の中の境目だけが動いて、全長は動きません。
端では速さが 0 なので全部が U、中心ではのびが 0 なので全部が K です。講義2 で見た「端で v = 0、中心で a = 0」が、そのまま棒になっています。
和はいつも端での値に等しく、E = \dfrac{1}{2}mv^2 + \dfrac{1}{2}kx^2 = \dfrac{1}{2}kA^2 です。K と U は 1 往復のあいだに 2 度ずつ 0 になるので、この 2 つだけを見ると振動の 2 倍の速さで往復していることになります。
エネルギーの式を v について解きます。\dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}kA^2 - \dfrac{1}{2}kx^2 から、v = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2} となります。
時刻 t が消えました。いつの話なのかを知らなくても、どこにいるかが分かれば速さが出ます。入試でいちばん使う道具がこれです。符号が \pm なのは、同じ位置を右向きにも左向きにも通るからです。
v を縦、x を横に取って描くと楕円になります。講義1・2 で回していた円が、ここでは楕円として戻ってきます。おもりが 1 往復するあいだに、点はこの楕円を 1 周します。
振幅の違う 2 つの振動を並べます。周期は同じままで、2 つのおもりは同時に端へ着きます。講義1 の等時性のとおり、振幅は周期に効きません。
ところがエネルギーは違います。E = \dfrac{1}{2}kA^2 ですから、振幅を半分にすると \dfrac{1}{4} になります。棒の長さが 4 対 1 で並びます。
振幅を 2 倍にしても往復にかかる時間は変わらないのに、そこまで持っていくのに要るエネルギーは 4 倍になる。周期と振幅、エネルギーと振幅は、まったく別の効き方をします。