ここからは、どの角で投げればいちばん遠くへ飛ぶかを考えます。地面から投げて地面へ落ちる場合を扱います。
まず、飛んでいる時間からです。球が地面へ戻ってくるのはいつか、という話ですから、これは高さの話です。横向きにどれだけ速く進んでいようと、落ちてくる時刻は変わりません。前の講義でみた、横と縦が別々だということがそのまま効いています。
鉛直の初速は v_0\sin\theta でした。上がって、頂点で鉛直の速度が 0 になり、また下りてきます。上りと下りにかかる時間は同じですから、全体は上りの 2 倍です。
上りにかかるのは \dfrac{v_0\sin\theta}{g} ですから、滞空時間は T = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g} になります。図の目印は等しい時間ごとの位置で、頂点を通る線をはさんで左右に同じ並びで出ています。
次は距離です。水平の向きには力がはたらかないので、球は v_0\cos\theta の速さで進み続けます。等速で進むのですから、距離は速さと時間を掛けるだけです。
その時間が、いま出した滞空時間 T です。だから R = v_0\cos\theta \cdot T となります。ここへ T を入れると R = \dfrac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g} です。
2\sin\theta\cos\theta は \sin 2\theta と書き直せます。まとめると R = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g} になりました。
この式で角が入っているのは \sin 2\theta だけです。初速も重力加速度も決まっているとすれば、飛距離を決めているのはここ 1 か所だ、ということになります。
\sin の値は、どんな角でも 1 を超えません。\sin 2\theta がちょうど 1 になるのは 2\theta = 90^\circ のとき、つまり \theta = 45^\circ のときです。
ですから 45^\circ で投げたときがいちばん遠く、そのときの距離は R_{\mathrm{max}} = \dfrac{v_0^2}{g} です。
図には 15^\circ ごとに 5 本の軌道を重ねてあります。明るい 1 本が 45^\circ で、いちばん右まで届いています。浅く投げれば横向きには速く進みますが、すぐ落ちてしまう。深く投げれば長く浮きますが、前へは進まない。その釣り合いが、ちょうど真ん中で取れています。
ところで、着地点の印をよく見てください。軌道は 5 本あるのに、印は 3 つしかありません。
印が 3 つしかないのは、15^\circ と 75^\circ、30^\circ と 60^\circ が、それぞれ同じところへ落ちているからです。足すと 90^\circ になる組になっています。
式でも確かめられます。\theta の代わりに 90^\circ - \theta を入れると \sin 2(90^\circ - \theta) = \sin(180^\circ - 2\theta) となり、これは \sin 2\theta に等しい。だから R(\theta) = R(90^\circ - \theta) です。
ただし、落ちる場所が同じというだけで、落ち方まで同じではありません。図の 2 つは同時に飛び出しますが、深いほうがずっと長く浮いています。滞空時間 T = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g} は角によって違うからです。浅いほうが先に着いて、深いほうがあとから追いつきます。
同じ的に当てる投げ方が 2 通りある、ということでもあります。速く届かせたいなら浅いほう、あいだの壁を越えたいなら深いほう。45^\circ だけが 1 通りで、そこが折り返しになっています。