今度は面のほうを傾けます。板の上にものを置いて、板をゆっくり起こしていく。どこかで必ずすべり出しますが、それがどの角なのかを求めます。
はたらいている力は水平のときと変わりません。重力は相変わらず真下を向いています。変わったのは、ブロックが動ける向きのほうです。動けるのは面に沿った向きだけになりました。
そこで重力を 2 つに分けます。面に沿う向きと、面に垂直な向きです。図のとおり、面に沿う成分は mg\sin\theta、垂直な成分は mg\cos\theta になります。
傾けていくと、この 2 本は反対に動きます。\sin\theta は大きくなり、\cos\theta は小さくなる。すべらせようとする力が増え、面を押しつける力が減っていく。この食い違いが、すべり出しを決めます。
前の講義で、摩擦の限界は \mu N だと分かりました。では斜面での N は何でしょうか。
面を押しているのは、重力そのものではありません。面に垂直な成分だけです。斜面に沿う成分は面を押しておらず、ブロックを下へ引いているだけです。だから N = mg\cos\theta となります。
水平な床で N = mg だったのは、\theta = 0 で \cos\theta が 1 だったからにすぎません。特別な場合を覚えていたわけです。
図で傾けていくと、押しつける成分と押し返す垂直抗力が、そろって縮んでいきます。限界の目印も一緒に近づいてきます。摩擦の限界は \mu N ですから、N が減れば限界も減ります。傾けるほど、すべりを止める力は弱くなっていきます。
材料がそろいました。すべらせようとするのが mg\sin\theta、止められる限界が \mu N = \mu mg\cos\theta です。
傾けていくと、前者は伸び、後者は縮む。反対に動くのですから、どこかで必ず追いつきます。追いつくまでは摩擦がすべてを受け止めるので、図の 2 本は同じ長さで向かい合ったままです。追い越された瞬間、ブロックは下りはじめます。
すべり出す条件は mg\sin\theta > \mu mg\cos\theta です。ここで両辺を見てください。どちらにも mg が入っています。mg\cos\theta は正ですから、両辺をこれで割ってしまえます。
割ると \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} > \mu、つまり \tan\theta > \mu です。m も g も消えました。残ったのは、傾きと、面の組み合わせを表す \mu だけです。
m が消えたということは、重さがすべり出す角に関わらないということです。図の 2 つは大きさがまるで違いますが、同じ瞬間に動きはじめ、そのあとも並んで下ります。
消える理由もはっきりしています。重くすれば、すべらせようとする mg\sin\theta は大きくなります。ところが面を押す mg\cos\theta も同じだけ大きくなり、限界の \mu mg\cos\theta も同じだけ上がる。両方が同じ割合で増えるので、勝負がつく角は動きません。
すべり出す境目の角を摩擦角といい、\tan\theta = \mu で決まります。板を傾けていって、ものが動き出した角を測る。それだけで \mu が求まるということでもあります。定規もばねばかりも要りません。
すべり出したあとは摩擦が動摩擦へ落ちるので、加速していきます。その加速度は g\cos\theta(\mu - \mu') で、やはり質量を含みません。図の 2 つが並んだまま下っていくのは、そのためです。