万有引力による位置エネルギーは U = -G\dfrac{Mm}{r} と書きます。負の値です。
負になるのは、無限に遠いところを基準の 0 に選んだからです。天体に近づくほど引力に引かれて落ちていくので、基準より低いところ、つまり負の値になります。基準の取り方の問題であって、エネルギーが足りないという意味ではありません。
なぜ地面を基準にしないのか。mgh が使えるのは g が一定とみなせる範囲、つまり地表のすぐ上だけだからです。高さが地球の半径に近づくと g は目に見えて小さくなり、mgh では合わなくなります。どこまで離れても使える基準として、無限遠を選んでおくほうが都合がよいのです。
図の曲線は、r が大きいほど 0 に近づき、天体に近いほど深く落ちこみます。この曲線の、地表のすぐ上だけを切り取れば、ほとんど直線に見えます。その傾きが mg で、mgh はそこだけを見ていた式だった、ということになります。
位置エネルギーが決まれば、力学的エネルギー保存が使えます。\dfrac{1}{2}mv^2 - G\dfrac{Mm}{r} = E で、E は軌道のどこでも同じ値です。
図の水平線が E、曲線が U、そのあいだの縦の長さが運動エネルギー K です。天体に近いところでは U が深く落ちこんでいるので K が大きく、つまり速い。遠ざかるほど K は縮んでいきます。
2 本が交わるところで K が 0 になります。そこが折り返し点で、それより遠くへは行けません。E が負であるかぎり必ずこの交点があるので、軌道は閉じます。楕円軌道になるのはこのためです。
楕円軌道の近点と遠点の速さを求めるときは、この式と、面積速度の r_1v_1 = r_2v_2 を連立させます。未知数が v_1 と v_2 の 2 つ、式も 2 本で、これで解けます。
地表すれすれを回り続けるには、どれだけの速さが要るでしょうか。これを第一宇宙速度といいます。
円軌道なので、万有引力が向心力になります。G\dfrac{Mm}{R^2} = \dfrac{mv^2}{R} と置き、m を約分して v = \sqrt{\dfrac{GM}{R}} が出ます。
ここで g = G\dfrac{M}{R^2} を思い出すと、GM = gR^2 ですから v = \sqrt{gR} と書き直せます。G も M も知らなくても、g と地球の半径だけで計算できる形です。地球の値を入れると秒速およそ 7.9 キロメートルになります。
これより遅ければ地面に落ち、この速さが出れば落ち続けたまま地面に届きません。ニュートンの砲弾で「十分に速く」と言っていたのが、この速さです。
では、二度と戻ってこないためには、どれだけ出せばよいでしょうか。これが第二宇宙速度、脱出速度です。
境目は、無限に遠いところでちょうど止まる場合です。そこでは U = 0 で K = 0 ですから E = 0 になります。力学的エネルギーは変わらないので、打ち上げるときも E \geq 0 でなければなりません。
\dfrac{1}{2}mv^2 - G\dfrac{Mm}{R} \geq 0 を解いて v \geq \sqrt{\dfrac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR} です。第一宇宙速度のちょうど \sqrt{2} 倍で、地球なら秒速およそ 11.2 キロメートルになります。
図の左は足りないほうで、どれだけ高く上がっても、横線のところで速さが 0 になって落ちてきます。右は足りているほうで、上がりきる高さがないのでそのまま出ていきます。この 2 つを分けているのは E の符号だけです。