ここからはレールが押す力そのものを見ます。速さには関わらない力ですが、乗っている人が体で感じるのはこちらだからです。
円を描いて動くには、中心を向いた力が要ります。大きさは m\dfrac{v^2}{r} で、これを向心力といいます。速いほど、曲がりが急なほど大きくなります。
向心力は新しい力ではありません。実際にはたらいている力を足した結果が中心を向いていて、その大きさになっている、という言い方をしているだけです。
台車にはたらいているのは、重力とレールが押す力の 2 つだけです。ですから、この 2 つを足したものが m\dfrac{v^2}{r} になっていなければなりません。ここから先は、その足し算をするだけです。
坂を下りきった谷底を見ます。レールはここで下に凸に曲がっているので、曲がりの中心は真上にあります。
はたらく力は、下向きの重力 mg と、上向きの垂直抗力 N です。中心は上ですから、上向きを正に取って N - mg = m\dfrac{v^2}{r} となります。
解くと N = mg + m\dfrac{v^2}{r} です。重さより大きい。速いほど、そして谷が急なほど大きくなります。
座席が体を押す力がこれです。谷底を通るときに体が重く感じるのは、m\dfrac{v^2}{r} が足されているからです。
こんどは丘の頂上です。レールは上に凸ですから、曲がりの中心は真下にあります。
力の向きは谷底と同じで、重力が下、垂直抗力が上です。変わったのは中心の向きだけです。下向きを正に取って mg - N = m\dfrac{v^2}{r} となります。
解くと N = mg - m\dfrac{v^2}{r} です。こんどは引き算になりました。重さより小さくなります。
図では速さを上げていきます。N の矢印が縮んでいきます。丘を速く越えるほど、座席が体を押す力は弱い。体が浮くように感じるのはこれです。
引き算ですから、いつかは 0 になります。N = 0 となるのは mg = m\dfrac{v^2}{r} のとき、つまり v^2 = gr のときです。
このとき座席は体を押していません。体を丸く曲げているのは重力だけです。落ちながら、ちょうど丘の形に沿っている状態だと言えます。
これより速いと、レールが押す力は負になります。押すのではなく引きとめる、ということです。上から押さえる車輪を持たない台車なら、そこでレールから離れて飛びます。
v^2 = gr という同じ式が、次の講義でループの条件になります。丘の上で浮くかどうかと、ループを回りきれるかどうかは、同じ 1 本の式です。