振り子のおもりにはたらく力は、重力と糸の張力の 2 つでした。このうち張力は、おもりの進む向きといつも直角を向いています。
おもりは糸の長さだけ離れた円の上を動くので、進む向きは円の接線です。張力は糸に沿う向き、つまり半径の向き。円では、接線と半径はどこでも直角に交わります。
直角にはたらく力は仕事をしません。仕事は、力と、その力の向きに進んだ距離の積ですが、直角ならその向きへはまったく進んでいないからです。張力はおもりの向きを変えるだけで、速さには手を出しません。
仕事をするのは重力だけということになります。重力は保存力ですから、力学的エネルギーは保存します。おもりが速くなるのも遅くなるのも、高さが変わったぶんだけです。
そこで、最下点からどれだけ持ち上がっているかが要ります。図の縦の線を見てください。支点からおもりの高さまでが L\cos\theta、そこから最下点までが h です。
2 つを足すと糸の長さ L になりますから、h = L - L\cos\theta、まとめて h = L(1-\cos\theta) です。角が 0 のとき h も 0 で、角が大きいほど高く持ち上がります。
\cos が出てくると身構えてしまいますが、やっていることは直角三角形 1 つぶんです。斜辺が L、その鉛直の辺が L\cos\theta。振り子のエネルギーの問題は、たいていここでつまずきます。
高さが分かれば位置エネルギーが出ます。最下点を基準に取って U = mgh です。
おもりが動くあいだ、運動エネルギー K と位置エネルギー U はたがいに入れ替わります。棒の中の境目だけが動いて、全長は動きません。端では速さが 0 なので全部が U、最下点では高さが 0 なので全部が K です。
和はいつも、放したところでの値に等しくなります。K + U = mgh_0 です。h_0 は放した高さ、つまり L(1-\cos\theta_0) のことです。
K + U = mgh_0 を v について解きます。\dfrac{1}{2}mv^2 = mgh_0 - mgh から、両辺の m が消えて v = \sqrt{2g(h_0 - h)} となります。
m が消えました。重いおもりでも軽いおもりでも、同じ高さから放せば同じ速さになります。時刻 t も出てきません。いつの話なのかを知らなくても、どこにいるかが分かれば速さが求まります。入試でいちばん使う道具がこれです。
高さを角で書き直せば v = \sqrt{2gL(\cos\theta - \cos\theta_0)} です。最下点では \theta = 0 で v = \sqrt{2gh_0} となっていちばん速く、端では \theta = \theta_0 で v = 0 になります。前の講義で、接線の向きの力が端でいちばん強く最下点で消えていたのと、ちょうど裏返しの関係です。