前の講義で式が 1 本足りませんでした。残っているのはモーメントのつり合いです。それを立てます。
モーメントは、どの点のまわりで測ってもかまいません。つり合っていれば、どこで測っても和は 0 になります。だからこちらで都合のよい点を選べます。
選ぶのは棒の下端です。ここを回転の中心にすると、床からの 2 力、R と f の腕がどちらも 0 になります。作用点が回転の中心そのものなら、その力はまわりを回そうとしません。図でその 2 本を落としてあるのは、消えたという意味です。
知りたいのは N ですから、N 以外が消える点を選んだわけです。うまい点を選べば、知りたくない力を式に入れずに済む。モーメントを使うときのいちばんの勘どころがここです。
残った 2 力の腕を測ります。腕とは、回転の中心から力の作用線までの距離のことです。
N は水平を向いています。ですから下端からの縦の距離が腕になります。それは棒の上端の高さ、つまり L\sin\theta です。
W は鉛直を向いています。ですから下端からの横の距離が腕になります。重心は棒の真ん中ですから \dfrac{L}{2}\cos\theta です。
2 つは棒を回そうとする向きが逆です。N は棒を起こす向きに、W は寝かせる向きに回そうとしています。つり合っているのですから、力と腕の積は等しい。N L\sin\theta = W\dfrac{L}{2}\cos\theta となります。
この式を N について解きます。両辺に L が入っているので、割ると消えます。\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} は \tan\theta ですから、まとめると N = \dfrac{W}{2\tan\theta} です。
棒の長さが消えました。長い棒でも短い棒でも、同じ角で立てかけるなら壁を押す力は同じです。長くすれば腕は伸びますが、重心も同じだけ遠のくので、差し引きで効かなくなります。
図で角を振ってみてください。寝かせるほど \tan\theta が小さくなり、N は大きくなります。立てるほど小さくなる。壁に寄りかかるほど強く壁を押す、という当たり前のことが、そのまま式に出ています。
これで 3 本目の式が出ました。R も f も N も、すべて W と \theta で書けるようになりました。
最後に、すべらない条件を書きます。床の摩擦が限界を越えないこと、つまり f \leq \mu R です。
ここまでの結果を入れます。f = N = \dfrac{W}{2\tan\theta}、R = W ですから、\dfrac{W}{2\tan\theta} \leq \mu W となります。両辺に W があるので割ると消え、\tan\theta \geq \dfrac{1}{2\mu} が残ります。
長さも重さも消えました。残ったのは傾きと、床の摩擦係数だけです。長いはしごでも短いはしごでも、人が乗っていてもいなくても、すべり出す角は変わりません。\mu が 0.5 なら \tan\theta \geq 1、つまり 45^\circ より立てておけばよい、ということになります。
図では立てたところから寝かせていきます。摩擦の矢印が伸びていき、限界の目印に届いたところで止まります。そこが限界角です。はしごを掛けるとき、寝かせすぎると危ないと言われるのは、この式のことでした。