状態数と位相空間：系の「場合の数」を数える

統計力学では、系がとりうる状態の数を数えることが出発点となります。この「場合の数」を状態数と呼び、記号 $W$ や $Ω$ で表します。状態数を正しく数えるためには、位相空間という概念が不可欠です。

古典力学における状態

1つの粒子の運動状態は、位置 $(x, y, z)$ と運動量 $(p_{x}, p_{y}, p_{z})$ の6つの数で完全に指定されます。これを一般化して、 $N$ 個の粒子からなる系の状態は $6 N$ 個の変数で記述されます。

位置座標

$q_{1}, q_{2}, \dots, q_{3 N}$ ：すべての粒子の位置を表す $3 N$ 個の座標。

運動量座標

$p_{1}, p_{2}, \dots, p_{3 N}$ ：すべての粒子の運動量を表す $3 N$ 個の座標。

これらの座標を軸とする $6 N$ 次元の空間を位相空間（phase space）と呼びます。系の状態は位相空間内の1点として表され、時間発展とともにこの点が軌跡を描いて移動します。

古典力学では、位相空間内の点は連続的に分布しています。そのため「状態の数」を直接数えることはできません。代わりに、位相空間の体積を考えます。

ある条件（たとえばエネルギーが $E$ 以下）を満たす領域の体積を $Γ (E)$ とすると、状態数はこの体積に比例すると考えます。ただし、体積をそのまま使うと次元の問題が生じるため、基準となる体積で割る必要があります。

量子力学によれば、位相空間の最小単位はプランク定数 $h$ で決まります。1自由度あたりの最小体積は $h$ なので、 $N$ 粒子系では $h^{3 N}$ が基準となります。

$W = \frac{Γ}{h ^{3 N}}$

この式により、古典的な位相空間体積から無次元の状態数が得られます。

1次元調和振動子のエネルギーは

$E = \frac{p ^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$

と表されます。エネルギーが $E$ 以下の領域は、位相空間 $(x, p)$ において楕円の内部になります。

エネルギー条件 $E$ を設定

位相空間で楕円 $\frac{p ^{2}}{2 m E} + \frac{m ω ^{2} x ^{2}}{2 E} \leq 1$ を考える

楕円の面積 $Γ = \frac{2 π E}{ω}$ を計算

状態数 $W = Γ/ h = E / (ℏ ω)$ を得る

この結果は、量子力学で調和振動子のエネルギー準位が $E_{n} = ℏ ω (n + 1/2)$ となることと整合しています。

古典力学では粒子に番号をつけて区別できると仮定しますが、量子力学では同種の粒子は本質的に識別不可能です。 $N$ 個の同種粒子を区別して数えると、実際より $N!$ 倍多く状態を数えてしまいます。

これを補正するため、同種粒子系の状態数は

$W = \frac{Γ}{N ! h ^{3 N}}$

と定義します。この $N!$ の因子はギブズの因子と呼ばれ、正しいエントロピーを得るために必要です。この補正がないと、同じ気体を混ぜるだけでエントロピーが増加するという「ギブズのパラドックス」が生じてしまいます。

位相空間と状態数の概念は、統計力学の土台となるものです。次に学ぶエントロピーの統計的解釈では、この状態数 $W$ が中心的な役割を果たします。