量子統計の基礎：同種粒子の識別不可能性

量子力学では、同種の粒子は本質的に識別できません。この性質は古典力学にはない根本的な特徴であり、量子統計力学の基礎となります。同種粒子の統計性により、フェルミオンとボソンという2種類の粒子が区別されます。

同種粒子の識別不可能性

古典力学では、原理的には粒子に「ラベル」をつけて追跡できると考えます。しかし量子力学では、同種粒子（たとえば2つの電子）を区別する物理的手段が存在しません。

古典力学

粒子にラベルをつけて識別可能。粒子1と粒子2を入れ替えると異なる状態。

量子力学

同種粒子は本質的に識別不可能。入れ替えても物理的に区別できない。

2つの同種粒子の波動関数 $Ψ (r_{1}, r_{2})$ を考えます。粒子を入れ替えた $Ψ (r_{2}, r_{1})$ は、物理的に同じ状態を表すはずです。波動関数自体は位相因子だけ異なる可能性がありますが、2回入れ替えると元に戻る必要があるため

$Ψ (r_{2}, r_{1}) = \pm Ψ (r_{1}, r_{2})$

のいずれかです。

入れ替えで波動関数がどう変わるかによって、粒子は2種類に分類されます。

ボソン（

+

の場合）

波動関数は粒子交換に対して対称。光子、グルーオン、 $π$ 中間子、ヘリウム4原子など。スピンが整数。

フェルミオン（

-

の場合）

波動関数は粒子交換に対して反対称。電子、陽子、中性子、クォークなど。スピンが半整数。

この関係はスピン統計定理として知られ、相対論的場の量子論から導かれます。

フェルミオンでは、2つの粒子が同じ量子状態を占めることはできません。

もし粒子1と粒子2が同じ状態 $ϕ$ にあれば、波動関数は $Ψ (r_{1}, r_{2}) = ϕ (r_{1}) ϕ (r_{2})$ と書けます。これは粒子交換に対して対称なので、フェルミオンの条件（反対称）と矛盾します。

フェルミオンの波動関数は反対称

2粒子が同じ状態なら波動関数は対称になる

矛盾するため、同じ状態は占有できない

パウリの排他原理

これがパウリの排他原理の量子力学的な起源です。

古典統計力学では、 $N$ 個の同種粒子の状態数を数えるときギブズ因子 $N!$ で割りました。これは「本当は区別できない」ことへの便宜的な補正でした。

量子統計力学では、最初から識別不可能性を取り込みます。各量子状態 $i$ の占有数 $n_{i}$ で系の状態を指定しますが、「どの粒子がどの状態にいるか」は問いません。

ボソン

各状態の占有数に制限なし。 $n_{i} = 0, 1, 2, \dots$

フェルミオン

各状態には最大1粒子。 $n_{i} = 0$ または $1$

高温・低密度の極限では、量子統計は古典統計に近づきます。

各状態の平均占有数が $⟨ n_{i} ⟩ ≪ 1$ であれば、2つ以上の粒子が同じ状態を占める確率は無視でき、ボソンとフェルミオンの区別はなくなります。この条件は

$n λ^{3} ≪ 1$

と書けます。ここで $n = N / V$ は数密度、 $λ$ は熱的ド・ブロイ波長です。

量子領域

(n λ^{3} ≳ 1)

粒子の波動関数が重なり合う。量子統計の効果が重要。

古典領域

(n λ^{3} ≪ 1)

粒子は互いに十分離れている。古典統計で近似可能。

室温の気体は通常 $n λ^{3} \sim 1 0^{- 5}$ 程度で古典領域にありますが、金属中の電子や極低温の気体では量子効果が本質的になります。同種粒子の識別不可能性という量子力学の基本原理が、物質の性質を根本的に左右するのです。