フェルミ-ディラック統計：フェルミオンの世界

電子、陽子、中性子などのフェルミオンは、パウリの排他原理に従います。1つの量子状態には最大1つの粒子しか入れないという制約のもと、フェルミオン系はフェルミ-ディラック統計に従います。金属の電子論や中性子星の構造など、多くの現象がこの統計で記述されます。

フェルミ-ディラック分布

エネルギー $ε$ の量子状態が粒子に占有される平均確率（平均占有数）は

$f (ε) = \frac{1}{e ^{(ε - μ) / k_{B} T} + 1}$

で与えられます。これがフェルミ-ディラック分布関数です。 $μ$ は化学ポテンシャルで、粒子数を決める役割を果たします。

分布の特徴

$0 \leq f (ε) \leq 1$ の範囲で、各状態には0個か1個の粒子（パウリ原理を反映）

ε = μ

での値

$f (μ) = 1/2$ 。化学ポテンシャルの位置で占有確率はちょうど半分。

導出の概略

エネルギー $ε$ の状態について、グランドカノニカル集団で考えます。占有数は $n = 0$ か $n = 1$ だけ許されるので、大分配関数は

$Ξ_{ε} = n = 0, 1 \sum e^{- β (ε - μ) n} = 1 + e^{- β (ε - μ)}$

平均占有数は

$⟨ n ⟩ = \frac{\partial lo g Ξ _{ε}}{\partial ( β μ )} = \frac{e ^{- β (ε - μ)}}{1 + e ^{- β (ε - μ)}} = \frac{1}{e ^{β (ε - μ)} + 1}$

これがフェルミ-ディラック分布です。

温度依存性

温度によって分布関数の形は大きく変わります。

絶対零度

(T = 0)

$ε < μ$ で $f = 1$ 、 $ε > μ$ で $f = 0$ 。階段関数型の分布。

有限温度

(T > 0)

$ε = μ$ の付近で滑らかに変化。遷移領域の幅は $\sim k_{B} T$ 。

絶対零度でのフェルミオン系は、エネルギーの低い状態から順に粒子が詰まっていきます。このとき最も高いエネルギーの占有状態をフェルミ準位と呼び、その値 $ε_{F}$ をフェルミエネルギーと呼びます。

フェルミエネルギーとフェルミ温度

自由電子系のフェルミエネルギーは、粒子数密度 $n = N / V$ で決まります。

$ε_{F} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (3 π^{2} n)^{2/3}$

これに対応するフェルミ温度は $T_{F} = ε_{F} / k_{B}$ です。

金属中の電子	$ε_{F} \sim$ 数 eV、 $T_{F} \sim 1 0^{4}$ K
白色矮星	$ε_{F} \sim$ 数百 keV、 $T_{F} \sim 1 0^{9}$ K
中性子星	$ε_{F} \sim$ 数十 MeV、 $T_{F} \sim 1 0^{11}$ K

$T ≪ T_{F}$ のとき、系は縮退していると言います。金属中の電子は室温でも $T / T_{F} \sim 0.01$ と強く縮退しており、量子効果が本質的です。

縮退フェルミ気体の性質

絶対零度のフェルミ気体でも、粒子は運動しています。フェルミエネルギーまでの状態がすべて占有されているため、平均エネルギーはゼロではありません。

$U (T = 0) = \frac{3}{5} N ε_{F}$

パウリ原理により同じ状態を占有できない

低エネルギー状態が先に埋まる

$T = 0$ でもフェルミエネルギーまで粒子が詰まる

ゼロ点運動エネルギーが存在

これが縮退圧の起源です。白色矮星は電子の縮退圧で、中性子星は中性子の縮退圧で重力崩壊を支えています。

低温での比熱

縮退フェルミ気体の比熱は、古典気体と大きく異なります。

$C_{V} = \frac{π ^{2}}{2} N k_{B} \frac{T}{T _{F}}$

$T / T_{F}$ に比例するため、古典的な値 $\frac{3}{2} N k_{B}$ よりはるかに小さくなります。これは、熱励起できるのがフェルミ面近傍の $\sim k_{B} T$ の幅の電子だけだからです。金属の電子比熱が格子振動に比べて小さいことは、フェルミ-ディラック統計で初めて説明されました。