ボース-アインシュタイン凝縮：究極の量子状態

ボース-アインシュタイン凝縮（BEC）は、ボソンが極低温で示す驚くべき量子現象です。巨視的な数の粒子が最低エネルギー状態に「凝縮」し、量子力学的な効果が肉眼で観測できるスケールで現れます。1995年の実験的実現はノーベル賞に輝きました。

凝縮の条件

理想ボソン気体において、有限温度で励起状態に収容できる粒子数には上限があります。

温度 $T$ で励起状態（ $ε > 0$ ）にいる粒子数は

$N_{ex} = \int_{0}^{\infty} \frac{g ( ε )}{e ^{ε / k_{B} T} - 1} d ε$

ここで $g (ε)$ は状態密度です。3次元では $g (ε) \propto ε^{1/2}$ で、この積分は有限値に収束します。

化学ポテンシャル $μ$ は負（ただし $μ \leq 0$ ）

温度を下げると $μ \to 0$ に近づく

$μ = 0$ で励起状態に入れる粒子数が最大

残りは基底状態に凝縮

励起状態に入れる最大粒子数が全粒子数 $N$ に等しくなる温度を臨界温度 $T_{c}$ と呼びます。

$k_{B} T_{c} = \frac{2 π ℏ ^{2}}{m} (\frac{n}{ζ ( 3/2 )})^{2/3}$

ここで $n = N / V$ は数密度、 $ζ (3/2) \approx 2.612$ はリーマンのゼータ関数です。

T > T_{c}

すべての粒子が励起状態に分布。通常の気体的振る舞い。

T < T_{c}

基底状態に有限割合の粒子が凝縮。凝縮相が出現。

$T < T_{c}$ では、基底状態の粒子数は

$\frac{N _{0}}{N} = 1 - (\frac{T}{T _{c}})^{3/2}$

で与えられます。 $T \to 0$ では全粒子が基底状態に凝縮します。

T = 0.5 T_{c}

凝縮分率 $N_{0} / N \approx 65%$

T = 0.1 T_{c}

凝縮分率 $N_{0} / N \approx 97%$

BEC を実現するには非常に低い温度が必要です。

1995年、コーネルとワイマン（ルビジウム）、ケターレ（ナトリウム）がそれぞれ独立に希薄原子気体でのBECを実現しました。レーザー冷却と蒸発冷却を組み合わせて、ナノケルビンの温度を達成したのです。

1924

アインシュタインの予言

ボース統計を質量をもつ粒子に適用し、低温での凝縮を理論的に予測。

1938

超流動ヘリウムの発見

液体ヘリウム4が2.17 K以下で超流動を示すことが発見。BECとの関連が議論される。

1995

希薄気体でのBEC実現

コーネル、ワイマン、ケターレが希薄原子気体でBECを実現。2001年ノーベル物理学賞。

凝縮状態の粒子は同じ量子状態を占め、単一の波動関数で記述されます。

コヒーレンス

凝縮体全体が一つの巨視的波動関数 $Ψ (r)$ で記述される。干渉実験で波動性が直接観測できる。

超流動

粘性なく流れる性質。渦は量子化される。

液体ヘリウム4の超流動もBECに関連していますが、強い相互作用のため理想気体のBECとは異なる面もあります。希薄原子気体では相互作用が弱く、理論との比較が精密に行えます。

BECは「巨視的な量子状態」という、直感に反する概念を目に見える形で示してくれます。現在では原子レーザー、量子シミュレーション、精密測定など、多くの応用研究が進んでいます。量子力学が日常スケールで顔を出す、極めて興味深い現象です。