ボース-アインシュタイン統計：ボソンの世界

光子や特定の原子などのボソンは、フェルミオンとは対照的に、同じ量子状態をいくつでも占有できます。この性質から導かれるボース-アインシュタイン統計は、レーザーの原理から極低温原子気体の凝縮まで、多彩な現象を説明します。

ボース-アインシュタイン分布

エネルギー $ε$ の量子状態の平均占有数は

$n (ε) = \frac{1}{e ^{(ε - μ) / k_{B} T} - 1}$

で与えられます。フェルミ-ディラック分布との違いは、分母が $+ 1$ ではなく $- 1$ であることです。

フェルミ-ディラック

$f = 1/ (e^{(ε - μ) / k_{B} T} + 1)$ 、占有数は $0 \leq f \leq 1$

ボース-アインシュタイン

$n = 1/ (e^{(ε - μ) / k_{B} T} - 1)$ 、占有数に上限なし

占有数が正であるためには $e^{(ε - μ) / k_{B} T} > 1$ 、すなわちすべてのエネルギー準位で $ε > μ$ が必要です。基底状態のエネルギーを $ε_{0} = 0$ とすれば、 $μ \leq 0$ という制約があります。

エネルギー $ε$ の状態について、ボソンでは占有数 $n = 0, 1, 2, \dots$ のいずれも許されます。大分配関数は

$Ξ_{ε} = n = 0 \sum \infty e^{- β (ε - μ) n} = \frac{1}{1 - e ^{- β (ε - μ)}}$

等比級数の和を使いました。平均占有数は

$⟨ n ⟩ = \frac{\partial lo g Ξ _{ε}}{\partial ( β μ )} = \frac{1}{e ^{β (ε - μ)} - 1}$

これがボース-アインシュタイン分布です。

光子は質量ゼロのボソンで、生成・消滅が自由に起こります。そのため粒子数は保存せず、化学ポテンシャルは $μ = 0$ となります。

振動数 $ν$ の光子のエネルギーは $ε = h ν$ なので、平均占有数は

$n (ν) = \frac{1}{e ^{h ν / k_{B} T} - 1}$

これを状態密度と組み合わせると、プランクの黒体輻射公式が導かれます。

光子はボソン、化学ポテンシャル $μ = 0$

ボース-アインシュタイン分布を適用

状態密度 $g (ν) \propto ν^{2}$ と組み合わせる

プランク分布 $u (ν) \propto ν^{3} / (e^{h ν / k_{B} T} - 1)$

プランクが1900年にこの式を発見したことが、量子論の始まりでした。

粒子数が保存するボソン系（ヘリウム4原子など）では、分布の振る舞いは温度によって変わります。

高温極限

(k_{B} T ≫ ∣ μ ∣)

$μ \to - \infty$ で、マクスウェル-ボルツマン分布に近づく。古典理想気体の振る舞い。

低温極限

$μ \to 0^{-}$ に近づき、基底状態の占有数が巨視的になる。ボース-アインシュタイン凝縮の発生。

固体中の格子振動（フォノン）もボソンです。フォノンは光子と同様に生成・消滅が自由なので $μ = 0$ です。

デバイは振動数に上限（デバイ振動数 $ω_{D}$ ）を設け、振動数分布を考慮しました。デバイ温度 $Θ_{D} = ℏ ω_{D} / k_{B}$ を用いると、低温での比熱は

$C_{V} \propto T^{3} (T ≪ Θ_{D})$

となります。これはアインシュタイン模型の指数関数的減少と異なり、実験結果とよく一致します。

デバイ温度が低いほど、低温での量子効果が現れやすくなります。

ボース-アインシュタイン統計は、光子・フォノン・プラズモンなどの準粒子から、極低温原子気体まで、幅広い系に適用されます。その最も劇的な帰結であるボース-アインシュタイン凝縮は、次の記事で詳しく見ていきます。